希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

阅读本节，需要先学习直线方程与圆方程的知识，并且务必熟悉韦达定理与平方项的代数变形技巧。

在平面解析几何中，对椭圆的知识考察比例是最重的，而且综合考试中解析几何板块的大解答题一般都是考椭圆。主要有2个方面的原因。其一，椭圆是封闭图形，许多几何性质易于从直观上理解和把握。其次，椭圆的方程有一定的复杂性，在二次曲线的方程研究中具有代表性。

2010年3月9日，中华民国立法委员洪秀柱曾用3道题椭圆与抛物线的问题考当时的台湾教育部长，结果对方没能在指定时限内成功给出解答。洪以此事作为判断文科生学习椭圆等相关知识无用的依据。[1]

直观上看，如果把圆沿特定方向压缩或伸长，得到的图形就是常说的椭圆（ellipse）。

一般来说，对圆的标准方程 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 同时作沿x与y方向的伸缩变换：

可得： ( x ′ a ) ′ 2 + ( y ′ b ) 2 = r 2 ⇔ x ′ 2 a 2 + y ′ 2 b 2 = r 2 {\displaystyle ({\frac {x'}{a}})'^{2}+({\frac {y'}{b}})^{2}=r^{2}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}=r^{2}}

这就是我们本节要学习的椭圆方程。不过，与先前所学的圆不同的是，椭圆还有好几种特有性质都可以用作其定义。换句话说，椭圆具有多种等价的定义方式。接下来，我们会采用一种更便于作图的方法定义并推导出椭圆的方程。

提示：(1)解析几何里所说的椭圆一律是指椭圆图形的轮廓线，也就是椭圆周。椭圆方程也是指椭圆轮廓线的方程，不包括其内侧的区域。我们说“点在椭圆上”，一般是指点在椭圆周上；说“点不在椭圆上”或“点在椭圆外”，一般都是指点不在椭圆周上。(2)椭圆（ellipse）和蛋形（oval）在外观上有些相似，在非数学资料中有时会互译，但在数学上并不是同一个概念。

提示：有关圆与椭圆之间伸缩变换的知识是大学阶段“解析几何”或“高等几何”课程的知识点，在高中阶段可能也会在仿射矩阵知识中有所接触，但一般并不是高中解析几何的学习内容。有兴趣的读者可以参阅仿射几何的相关知识。有一些习题或考题会隐蔽地涉及到在仿射变换下对圆与椭圆同时都成立的命题。

设平面内的x轴上有2个固定点 F 1 ( − c , 0 ) , F 2 ( 0 , c ) ( c > 0 ) {\displaystyle F_{1}(-c,0),F_{2}(0,c)\quad (c>0)} 。我们断言，平面上到这2个定点的距离之和为定值 2 a ( a > c ) {\displaystyle 2a\quad (a>c)} 的动点的轨迹就是椭圆。 为此，设满足条件的动点为M (x, y)，则已知约束条件等价于 | M F 1 | + | M F 2 | = 2 a {\displaystyle |MF_{1}|+|MF_{2}|=2a} 。 利用平面上两点间的距离公式可得： | M F 1 | + | M F 2 | = 2 a ⇔ ( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a {\displaystyle |MF_{1}|+|MF_{2}|=2a\quad \Leftrightarrow \quad {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a} 由于式中含有2个分离的根式，先后进行2次巧妙的移项和平方后，可以整理得到： ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ) {\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})} 因为a > c，所以 a 2 − c 2 > 0 {\displaystyle a^{2}-c^{2}>0} 。不妨记 b 2 = a 2 − c 2 {\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}} ，则有： b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ⇔ x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

通过这样的方式，我们也得到了椭圆的方程。其中的a叫做该椭圆的半长轴（semi-major axis），它可以理解为椭圆长度的一半；b叫做半短轴（semi-minor axis），它可以理解为椭圆宽度的一半；点 F 1 , F 2 {\displaystyle F_{1},F_{2}} 都叫做椭圆的焦点（focus，复数形式：foci），它们是该定义下椭圆的构造基础；c叫做半焦距，它描述了焦点偏离其椭圆几何中心的程度。[2]

提示：后面会提到，焦距、焦点的概念名称都来自于椭圆特殊的光学性质。

提示：焦点的英文复数形式“foci”读作/ˈfəʊ.kʰaɪ/（英式）或/ˈfoʊ.sʰaɪ/（美式）。

类似地，交换x与y的位置，仍然可以模仿上述论证过程得到焦点在点 F 1 ( 0 , − c ) , F 2 ( 0 , c ) {\displaystyle F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)} 的椭圆的方程为： x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 ( a > b > 0 ) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1\quad (a>b>0)}

我们将上述结论作为椭圆的新定义如下：

定义平面上到2个定点的距离之和为常数（该常数大于2个给定点之间的距离）的点的轨迹为椭圆。这2个定点叫做椭圆的焦点，它们之间的间距叫做焦距。[2]

在平面直角坐标系中，焦点在点 F 1 ( − c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) {\displaystyle F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)} 的椭圆的标准方程（ellipse standard equation或equation of ellipse in standard form）为[2]： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a>b>0)}

在平面直角坐标系中，焦点在点 F 1 ( 0 , − c ) , F 2 ( 0 , c ) {\displaystyle F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)} 的椭圆的标准方程为[2]： x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 ( a > b > 0 ) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1\quad (a>b>0)}

无论上述哪一种情况，都有关系式 a 2 = b 2 + c 2 {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}} 成立。

为了称呼的简便，我们把用这2种标准方程描述的椭圆都叫做标准椭圆。

焦点在x轴上的椭圆和在y轴上的椭圆，几何性质没有本质的区别，只是坐标系的选取角度的差异。在论证椭圆的几何性质时，我们往往只需要巧妙选择坐标系，针对焦点在x轴的标准椭圆进行处理，此时得到的结论也会适用于朝向不同方位的其它椭圆。

提示：解析几何的运算量往往比较大。合理地选择坐标系能够极大地简化运算过程。所以我们优先选择把椭圆的焦点固定在坐标轴上，对于这种标准椭圆的分析和计算会相对容易很多。后面将会看到，对于坐标系已提前取定的更一般的平面椭圆方程（焦点不一定在直接坐标系的坐标轴上），原则上也可以通过坐标系的旋转变换技巧，将其转换为与标准椭圆完全相似的情形。

椭圆早在古希腊时代就已经有数学家研究。由于其与圆锥截面的联系，亚里士塔欧（Aristaeus，公元前4世纪）将其归类为“圆锥曲线”（conic section(s)）中的一种。古希腊几何学名家阿波罗尼奥斯在其《圆锥曲线论》一书中，使用传统的几何方法费力地论证了椭圆轨迹上任意一点到2个焦点的距离为定值的结论。在此基础上，拜占庭数学家安提缪斯（Anthemius，约474年－534年）发明了椭圆的“两钉一绳”画法。后来法国天文学家菲利普·拉伊尔（Philippe de La Hire，1640年－1719年）正式以平面上到2个固定点的距离之和为常数的轨迹来重新定义椭圆。约20年后，洛必达侯爵（Marquis de L’Hospital，1661年－1704年）根据拉伊尔给出的椭圆定义，成功地推导出了椭圆的方程。[3]

提示：除了原始的“两钉一绳”画法，椭圆还可以使用一种专门的椭圆规作出。

相关例题1： P (2, k) and Q (2, -k) are the points of the ellipse x 2 16 + y 2 4 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{4}}=1} . Find the value of k.

相关例题2： 已知定点B (3, 0)和一个以点 C 0 {\displaystyle C_{0}} 为圆心的圆 C : ( x + 3 ) 2 + y 2 = 100 {\displaystyle C:(x+3)^{2}+y^{2}=100} 。P是圆周上的一个动点，线段BP的垂直平分线交 C 0 P {\displaystyle C_{0}P} 的延长线于点M。求M的轨迹方程。

由焦点在x轴的椭圆标准方程可知： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ⇒ { x 2 a 2 ≤ 1 y 2 b 2 ≤ 1 ⇒ { x 2 ≤ a 2 y 2 ≤ b 2 ⇒ { − a ≤ x ≤ a − b ≤ y ≤ b {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\leq 1\\{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}x^{2}\leq a^{2}\\y^{2}\leq b^{2}\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}-a\leq x\leq a\\-b\leq y\leq b\end{array}}\right.} 所以椭圆周上的点都满足上式不等关系。而且，这也说明椭圆位于4条直线 x = ± a , y = ± b {\displaystyle x=\pm a,y=\pm b} 所围成的矩形内[4]。 对于焦点在y轴上的椭圆有类似结果。

在椭圆的标准方程（无论焦点在哪个坐标轴上）中，用-x取代x，或是用-y取代y，或者同时对x和y正负取反，方程的形式都不变[4]。这说明椭圆的标准方程具有形式对称性。另一方面，对于任何一个满足标准椭圆方程的点 P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P(x_{0},y_{0})} ，如果求出它关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标，也容易发现这些对称点也都满足原来的椭圆方程。这说明椭圆的标准方程具有几何对称性。

更直观地看，这些事实说明标准椭圆同时具有下列对称性[4]：

我们就把椭圆的中心对称点（对称中心）叫做椭圆的中心（center of an ellispe）[4]。直观上看，它也是椭圆的几何中心。

为叙述方便，我们考虑焦点在x轴上的标准椭圆。设此椭圆与2个焦点所在直线的交点分别为 A 1 , A 2 {\displaystyle A_{1},A_{2}} ，记坐标系原点为O。由椭圆“两钉一绳”的作图法可知，在椭圆周上，只有2个交点 A 1 , A 2 {\displaystyle A_{1},A_{2}} 是距离椭圆中心最远的点。并且通过椭圆标准方程，容易求出曲线与x轴的交点位置为 x = ± a , y = 0 {\displaystyle x=\pm a,y=0} 。如果 A 1 {\displaystyle A_{1}} 是线段 A 1 A 2 {\displaystyle A_{1}A_{2}} 上偏左的点，那么它们的坐标位置分别就为 A 1 = ( − a , 0 ) , A 2 = ( a , 0 ) {\displaystyle A_{1}=(-a,0),A_{2}=(a,0)} 。我们把线段 A 1 A 2 {\displaystyle A_{1}A_{2}} 叫做椭圆的长轴， O A 1 {\displaystyle OA_{1}} 或 O A 2 {\displaystyle OA_{2}} 以及它们的数值大小都叫做椭圆的半长轴。[4]

类似地，可以求得此椭圆标准方程与y轴也有2个交点，位置为 x = 0 , y = ± b {\displaystyle x=0,y=\pm b} 。不妨设它们为 B 1 ( 0 , b ) , B 2 ( 0 , − b ) {\displaystyle B_{1}(0,b),B_{2}(0,-b)} 。我们断言 B 1 , B 2 {\displaystyle B_{1},B_{2}} 是此椭圆周上2个到椭圆中心距离最短的点。 为说明这一点，设椭圆上动点M (x, y)到椭圆中心（原点）的距离为d。由两点距离公式及M满足椭圆方程可得： { x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ⇒ y 2 = b 2 ( 1 − x 2 a 2 ) d 2 = x 2 + y 2 ⇒ d 2 = x 2 + b 2 ( 1 − x 2 a 2 ) = x 2 + b 2 − b 2 a 2 x 2 = ( 1 − b 2 a 2 ) x 2 + b 2 {\displaystyle {\begin{array}{l}\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad \Rightarrow \quad y^{2}=b^{2}(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}})\\d^{2}=x^{2}+y^{2}\end{array}}\right.\\\quad \Rightarrow \quad d^{2}=x^{2}+b^{2}(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}})=x^{2}+b^{2}-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}=(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}})x^{2}+b^{2}\end{array}}} 由此可见，x的绝对值越小，对应的M点到中心的距离d也越小。即有 x = 0 , y = ± b {\displaystyle x=0,y=\pm b} 时，距离d取到最小值b。

因为上述原因，椭圆除长轴外，还可以定义出短轴。我们把上述焦点在x轴上的标准椭圆与y轴的2个交点的连线段 B 1 B 2 {\displaystyle B_{1}B_{2}} 叫做椭圆的短轴[4]， O B 1 = O B 2 {\displaystyle OB_{1}=OB_{2}} 叫做半短轴。不难发现不论是焦点在x轴还是在y轴，标准椭圆的长轴长度永远是2a，短轴长度永远是2b。当长轴和短轴变为一样长时，椭圆退化为圆形[4]。

最后标准椭圆与坐标轴的4个交点刻画了椭圆的关键位置与对称性信息，我们将它们都称为椭圆的端点。[4]

椭圆周上到椭圆中心最远的2个点之间的连线段叫做椭圆的长轴，最短的2个点之间的连线段叫做椭圆的短轴，长轴和短轴与椭圆周的交点都叫做椭圆的端点（或顶点）。

相关例题： 试通过代数变形，严格论证在椭圆周上，只有长轴上的2个端点到椭圆中心的距离最长。

由于有的椭圆可以很扁，也有的可以很圆，所以需要寻找一种方式衡量椭圆形状整体的弯曲程度。最一个容易的想到的方法是考察长短轴的比例值。当长轴和短轴的长度接近时，就表示椭圆接近圆形；反之则偏离圆形，变得比较扁。这对于研究椭圆来说是完全没问题的。

不过，后来人们还发现椭圆和其它一些二次曲线也存在密切联系，而它们的共同几何特征都适合用下面的特殊比值来定义：

椭圆焦距与长轴长度的比例，叫做椭圆的离心率或偏心距（eccentricity）。易知对于一个标准椭圆，其离心率为 e = c a