matlab解决一般的一元/多元函数的非线性优化问题

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matlab解决一般的一元/多元函数的非线性优化问题

2024-03-24 13:22| 来源: 网络整理| 查看: 265

在之前《matlab中解决线性规划问题》与《matlab解决有约束的的二次规划问题》两篇博文中，我们已经成功解决了两种多项式优化问题，现在我们来看更一般的情况。

这里需要使用函数fmincon()。

先使用help fmincon查看fmincon()的调用格式

help fmincon fmincon - Find minimum of constrained nonlinear multivariable function This MATLAB function starts at x0 and attempts to find a minimizer x of the function described in fun subject to the linear inequalities A*x ≤ b. x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x = fmincon(problem) [x,fval] = fmincon(___) [x,fval,exitflag,output] = fmincon(___) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___)

与《matlab解决有约束的的二次规划问题》（matlab解决有约束条件的二次规划问题_Konata的博客-CSDN博客_matlab 二次规划）中quadprog()函数对比，可以看到，fmincon的调用格式与求解非线性约束的二次规划时所用的quadprog()函数基本相同，在线性约束部分，同样含有A，b，Aeq，beq，lb，ub，这些参数，并且意思完全相同，不同之处在于非线性约束函数目标函数fun的定于与非线性约束条件nonlcon的定义。

任然使用例子来解释

【例1】求解优化问题

$\begin{gathered} \min f(s, t)=s^{4}-4 s-8 t+15 \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{c} 9-s^{2}-t^{2} \leq 0 \\ 2 s+3 t \leq 2 \\ t-s \leq 5 \end{array}\right. \end{gathered}$

【分析】

目标函数的定义

需要使用函数句柄定义，或者新建一个脚本文件，对

$\min f(s, t)=s^{4}-4 s-8 t+15$

把s和t分别当作x(1)与x(2)

新建一个脚本fun.m，并且输入

function y=fun(x) y=x(1)^4-4*x(1)-8*x(2)+15; 非线性约束条件的定义

同目标函数的定义，使用函数句柄或者新建脚本来创建约束条件。

$\text { s.t. }\left\{\begin{array}{c} 9-s^{2}-t^{2} \leq 0 \\ 2 s+3 t \leq 2 \\ t-s \leq 5 \end{array}\right.$

对照约束函数的标准形式：

$\min _{x} f(x) \text { such that }\left\{\begin{aligned} c(x) & \leq 0 \\ c e q(x) &=0 \\ A \cdot x & \leq b \\ \text { Aeq } \cdot x &=b e q \\ l b & \leq x \leq u b \end{aligned}\right.$

可以知道：

1.需要将约束条件转化成“不等式左边为式子，右边为0”的形式。

（注意不等号的方向！）

2.标准形式中这里的Ceq表示等式约束，与二次规划中是类似的，当不含有等式约束时，Ceq为空，即Ceq=[]

新建脚本cons.m

function [c,ceq]=cons(x) c=[9-x(1)^2-x(2)^2]; ceq=[];

注意这个函数的函数头function [c,eq]=cons(x)，有两个返回参数，c与ceq。同时注意返回参数的计算方法！

以上便完成了非线性约束条件的定义（线性约束条件还未定义！）

注：如果含有多个非线性约束条件

以这个为例，则需要写成

function [c,eq]=cons(x)

c=[x(1)*x(2)+x(1)-x(2)+1.5;

10-x(1)*x(2)];

ceq=[];

fmincon（）函数的调用

按照上文中利用help fmincon找出的调用格式，调用fmincon()即可。注意下面代码中的[1 2]这个参数，分别表示s和t的迭代初值是1和2。所谓“迭代”，这一词源于matlab中fmincon（）函数的求解方法——迭代法，可以理解为一个接近与s和t的解的初值。

其中A和b表示线性约束部分，可以参考matlab解决有约束条件的二次规划问题_Konata的博客-CSDN博客_matlab 二次规划一文

%A与b表示线性约束部分 A=[2 3;1 -1]; b=[2;5]; [x,fval,exitflag,output]=fmincon(@fun,[1 2],A,b,[],[],[],[],@cons)

输出结果：

x = -2.1454 2.0969 val = 27.9921 exitflag = 1 output = 包含以下字段的 struct: iterations: 9 funcCount: 37 constrviolation: 0 stepsize: 8.8282e-06 algorithm: 'interior-point' firstorderopt: 2.4874e-05 cgiterations: 0 message: '太长省略'

成功完成！

[例2]表示如下约束问题

$\begin{array}{r} \min f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}-\frac{9}{4}\right)^{2}+\left(x_{2}-2\right)^{2} \\ \text { s.t. } x_{1}^{2}-x_{2} \leq 0 \\ x_{1}+x_{2} \leq 6 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{array}$

[代码]

非线性约束，有不等式非线性约束与等式非线性约束。在matlab中调用fmincon时，规定传入作为参数的非线性约束必须返回两个值，因此无法用@定义匿名函数完成，只能新建一个脚本，例如这里新建conv_opt_cons.m

function [c,ceq]=conv_opt_cons(x) c=x(1)^2-x(2); ceq=[];

下面是主代码:

fun=@(x)(x(1)-2.25)^2+(x(2)-2)^2; % f为一函数句柄 Aeq=[1 1]; % x1+x2 beq=6; % 与上面结合，表示x1+x20 x0=[0 0]; % 迭代初始点 options=optimset('Algorithm','sqp','TolFun',1e-16); [x,fval]=fmincon(fun,x0,[],[],Aeq,beq,lb,[],@conv_opt_cons,options)

Remark:

1. 目标函数可以新建脚本表示，但推荐使用更简单的匿名函数机制。这里又要注意，fmincon规定目标函数自变量只能有一个，因此要把这个自变量看成矩阵才能表示多元函数，用x(1)、x(2)等表示各个变量

2. 线性等式约束应表示为Aeq*x=beq的格式(回想线代，每行是一个等式)，表示出Aeq和beq

3. 注意option的设定options=optimset('Algorithm','sqp','TolFun',1e-16);意思是Algorithm=sqp，TolFun=1e-16。其实就是键值对，但matlab没这个数据格式= =所以用逗号隔开

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