1 格林公式的发明人

格林公式的发明人是乔治·格林。他40 岁才考上了剑桥的本科生，44岁毕业后在剑桥的凯斯学院任教，48岁英年早逝。为了纪念他以及这个重要的公式，凯斯学院有一扇窗户上画了关于格林公式的一幅图。

2 格林公式发明的背景

窗户上的这幅图虽简约却巧妙地展现了乔治·格林推导公式时的思路。接下来，我们将帮助同学们理解这幅图，并借此展示格林公式的直观意义。为了方便讲解，还是先列出格林公式：

定理（格林公式）. 设闭区域 的边界由分段光滑的曲线构成，若函数 及 在 上具有一阶连续偏导数，则有：

其中 为 的取正向的边界曲线。

在乔治·格林生活的那个时代，电磁学正方兴未艾，上述公式正是在解决这门学科的具体问题中诞生的。当时电磁学的一个研究热点是电磁效应，为了研究这一效应，物理学家们会将通电的线圈放入磁场之中，如下图所示，此时线圈会受到磁力的作用，从而产生旋转。

上述通电线圈可抽象为平面中的封闭有向曲线 ，其方向代表的是电流的方向，而磁力场可以表示为向量场 ，如下图所示。

物理学家往往会需要计算磁力场对该线圈的做功，也就是计算如下的对坐标的曲线积分：

有时候上述积分是比较难计算的，所谓格林公式就给出了该积分的一个计算方法。假设封闭有向曲线 所围的闭区域为 ，如下图所示。

那么根据格林公式，在有向曲线 上的对坐标的曲线积分可转为在闭区域 上的二重积分，即：

3 格林公式的推导思路

下面来看看乔治·格林是如何推导出上述结论的。他将闭区域 划分为很多个小格子，如下图所示。

这么做的原因是因为乔治·格林发现，如果在每个格子的边界上计算曲线积分，相邻的边界会相互抵消。以下图中的 个蓝色格子为例，内部灰色边界上有一对方向相反的积分，也就是黑色箭头所指方向上的积分，这两者会相互抵消；而外部黑色边界上只有一个方向的积分，也就是红色箭头所指方向上的积分，该积分会被保留下来。

也就是说在这 个蓝色格子上计算曲线积分并且相加起来，得到的是外部正向边界上的曲线积分，如下图所示，这里用红色描出了外部正向边界。

如果计算闭区域 内所有的小矩形格子上的曲线积分并且相加起来，就会得到下图中红色边界上的曲线积分。

如果将闭区域 划分为更多个小格子，然后计算闭区域 内所有的小矩形格子上的曲线积分并相加，就会得到下图中红色边界上的曲线积分。

可以看到随着小矩形格子的增多，红色边界会逐渐逼近有向曲线 ，相应的红色边界上的曲线积分也会逼近乔治·格林想要的计算结果，最终当小矩形格子的个数 ，并且这些小矩形格子的最大直径 时，可以求出

4 格林公式的具体推导

思路解释清楚了，下面来计算单个小矩形格子的曲线积分，以下图中的小矩形格子 为例， 个顶点分别为 、 、 和 。

注意到力场 在 方向的分力 与有向直线 、 垂直，从而 在这两条直线上不做功；及力场 在 方向的分力 与有向直线 、 垂直，从而 在这两条直线上不做功。结合上对坐标的曲线积分的计算法，可如下计算在 正向边界 上的曲线积分：

简写一下，上面的推导得到了如下结果：

按照最上面解释的思路，将闭区域 划分为更多的小矩形格子，当这些小矩形格子的最大直径 时，结合上单个小矩形格子 的计算结果，就可以得到格林公式：

以上内容选自【马同学图解数学】系列课程，欢迎加入学习：