突然发现我这博客咋啥都开始写了呢。。。 上微积分课胡思乱想系列。。。

显然这个东西在数学上是没有定义的。 包括 −1 的 13 次方这样的东西，数学上的定义也挺模糊的 不过我们可以想想这东西应该怎么定义。。。

首先，从定义出发，一个数 a 的k次方( k∈Z )如何定义？ k 个a连乘。 因为乘法在 R 上均有定义，所以 a 的正整数次方在R上均有定义。

接下来，一个数 a 的负k次方( k∈Z )该如何定义？ 根据 k>0 时候的定义有 ak1∗ak2=ak1+k2 ，因此定义应该将这个性质延续下去，即 a−k∗ak+1=a−k+k+1=a ， a−k=aak+1=1ak 据此也有 a0=ak∗a−k=1 1/0 无定义，因此以上二者的定义域都是 a∈{x|x∈R,x≠0}

整数域已经做完了，下面我们该进入有理数域了。

一个数 a 的pq次方等于多少？ 和上面类似，根据整数时候的定义有 (ak1)k2=ak1k2 ，因此新的定义应该将这个性质延续下去，即 (ap/q)q=ap 即 ap/q 是 ap 的 q 次方根

什么是ap的 q 次方根？ 定义ap的 q 次方根为方程xq=ap的解 当 q 为奇数的时候这个方程在R上有唯一解，但 q 为偶数的时候，当ap≥0时在 R 上有两个解，当 ap 为负数的时候在 R 上无解！ 为了保护一些函数的优雅性质，当 ap≥0 时我们定义了算数次方根为二者中非负的那个，至于 ap0) 的值 若 a∈(0,1] ，直接将 x=a−1 代入泰勒展开式，其极限即为 a2√ 若 a∈(1,+∞) ，将 x=1a−1 代入泰勒展开式，其极限的倒数即为 a2√ 由此我们得到了实数域上正数的无理数次方的定义。

负数呢？尝试代入 x+12k|k∈Z} Z(−1,1)={2k+1|k∈Z} Z(1,2)={4k|k∈Z} Z(−1,2)={4k+2|k∈Z}

因为这个定义是我自己瞎BB的所以我也不知道数学上到底有没有这玩意以及这玩意的各种性质对不对

容易发现，虽然集合是无限集，但是由于 e2πi=1 ，所以实际上取值未必是无限的。

那么我们来看看 α∈Q 的情况 Z(1,12)={k|k∈Z} ， ekπi 取值只有两个， 1 和−1，对应 x2=1 的两个实数解 Z(−1,12)={k+12|k∈Z} ， e(k+12)πi 取值只有两个， i 和−i，所以 x2=−1 无实数解 Z(1,13)={23k|k∈Z} ， e23kπi 取值有三个， 1,e23πi,e43πi ，其中 1 是x3=1的唯一实数解 Z(−1,13)={2k+13|k∈Z} ， e2k+13πi 取值有三个， e13πi,−1,e53πi ，其中 −1 是 x3=−1 的唯一实数解

这样就完美了。

之前的问题： (−1)13?=(−1)26 换句话讲， Z(−1,13)?=Z(−1,26) 根据定义，二者显然相等 但是， Z(−1,26)≠Z(1,16) 这也就告诉我们 Z 函数不满足Z(xα,β)=Z(x,αβ) 当然， x 非负的时候二者的值域是相等的，这个再说了。

-没有运算法则的话，要这东西有啥用？ -它能告诉你−1的 2√ 次方等于多少啊！ -那等于多少啊？

根据定义， Z(−1,2√)={(2k+1)2√|k∈Z} 容易发现， ∀k1≠k2,(2k1+1)2√−(2k2+1)2√=22√(k1−k2)≠2k ，所以任意两个 e(2k+1)2√πi 都不相等，值域是个无限集 那么这其中有没有实数呢？ 显然， (2k+1)2√ 一定是个无理数，而 e(2k+1)2√πi 是实数要求 (2k+1)2√ 是个整数，因此没有。

所以， (−1)2√ 在 R 上无定义。

类似地，我们可以知道 Z(1,2√)={22√k|k∈Z} 它的值域同样是个无限集，但是比较幸运的是这个无限集里有个 e22√∗0πi=1 ，这也是 12√ 在实数域下的唯一定义。

大概就这么多了吧，这东西可以理解为幂运算在复数域下的一次延拓，至于这东西有啥用，反正它能告诉你 −1 的根号二次方不是实数，剩下的事情留给后人去探索吧。