拉格朗日插值（高次多项式插值）：其插值函数在整个区间上是一个解析表达式，便于再次开发利用；曲线光滑；误差估计有表达式；收敛性不能保证（振荡现象）。用于理论分析，实际意义不大。

分段线性和三次样条插值（低次多项式插值）：曲线不光滑（三次样条插值已大有改进）；误差估计较难（对三次样条插值）； 收敛性有保证。简单实用，应用广泛。

节点可视为由y = g( x)产生，函数g表达式复杂，或无解析表达式，或未知。

构造一个(相对简单的)函数y=f(x),通过全部节点, 即f (xj) =yj ( j =0,1,....,n)

再用f(x)计算插值，即y∗=f(x∗)

已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.

解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下

其中Li(x) 为n次多项式：

称为拉格朗日插值基函数。

特别地: 两点一次(线性)插值多项式:

三点二次(抛物)插值多项式:

直接验证可知，Ln( x) )满足插值条件Ln(xi)=yi,i=0,1,…,n.

N越大，误差不一定越小。

通过考察g(x)=

,-5≤x≤5

采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1， 其中n为插值多项式 的次数，当n分别取2, 4,6,8,10时，绘出插值结果如上图.

这种振荡现象叫Runge现象。

计算量与n无关;n越大，误差越小.

分段线性插值在区间端点不光滑。

在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。

光滑性的阶次越高，曲线则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？

三次样条函数 S(x), x∈[a, b] , 满足:

1)S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是一个三次多项式函数 ；

2)在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。

问题：给定n+1个节点（x0, y0 )，(x1, y1 ) ,…, (xn, yn),

求一个三次样条函数S(x)，使其满足：S(xi)=yi,i=0,1,…,n.

如何确定三次样条函数在每一个小区间上的三次多项式函数的系数？

•待定系数和方程个数

参数：每个小段上4个参数，n个小段共计4n个方程：

1)每个小段上由给定函数值得到2个，n个小段共计2n个；

光滑性要求每一个内部节点的一阶二阶导数连续，得出其左右导数相等，因此，每个节点产生2个方程，共计2(n-1) 个 。现在得到了4n-2个方程。为了求解4n个方程，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，这就是所谓的边界条件。需要两个，正好左右两个端点各一个。

用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych)

一维插值函数：

插值方法：

nearest：最邻近插值； next:下一个邻点插值 ；previous:前一个邻点插值；linear：线性插值； spline：三次样条插值；pchip:保形分段三次插值； cubic ：立方插值；v5cubic:在MATLAB5中使用的三次卷积。

缺省时：分段线性插值。

例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。

第一种（网格节点）

已知m×n个节点(xi, xj, zij) ( i=1, 2, …,m; j=1, 2, …, n )其中xi, yj互不相同，

不妨设 a=x1