文自 Datawhale 作者 姚童

寄语：本文梳理了最近邻插值法、双线性插值法和三次样条插值法的原理，并以图像缩放为例，对原理进行了C++及Python实现。

近邻插值算法

1. 原理简介

将目标图像中的点，对应到原图像中后，找到最相邻的整数坐标点的像素值，作为该点的像素值输出。

如上图所示，目标图像中的某点投影到原图像中的位置为点P，与P距离最近的点为Q11，此时易知，f(P)=f(Q11)。

2. 例子说明

如图所示：

将一幅3*3图像放大到4*4，用f(x , y)表示原图像，h(x ,y)表示目标图像，我们有如下公式：

3. 缺点

由最邻近插值法，放大后的图像有很严重的马赛克，会出现明显的块状效应；缩小后的图像有很严重的失真。

这是一种最基本、最简单的图像缩放方式。变换后的每个像素点的像素值，只由原图像中的一个像素点确定。例如上面，点(0,0.75)的像素只由(0,1)确定，这样的效果显然不好。点(0,0.75)的像素不止和(0,1)有关，和(0,0)也有关，只是(0,1)的影响更大。如果可以用附近的几个像素点按权重分配，共同确定目标图像某点的像素，效果会更好。下面的双线性插值就解决了这个问题。

双线性插值算法

1. 线性插值

在讲双线性插值之前先了解一下线性插值。线性插值：使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值。线性插值形式：

如下图所示：

线性插值多项式：

其实，即使x不在x0到x1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插。

线性插值的误差：线性插值其实就是拉格朗日插值有2个结点时的情况。插值余项为：

从插值余项可以看出，随着二阶导数的增大，线性插值的误差增大。即函数的曲率越大，线性插值近似的误差也越大。

举个例子。下图中，左边为原图像，拉伸后，理想的输出图像的像素分布应该为绿色箭头指向的，但是按照线性插值，会得到红色箭头指向的结果。

2. 双线性插值

双线性插值形式：

双线性插值是线性插值在二维时的推广,在两个方向上共做了三次线性插值。定义了一个双曲抛物面与四个已知点拟合。

具体操作为在X方向上进行两次线性插值计算，然后在Y方向上进行一次插值计算。如下图所示：

首先，f(x,y)为二元函数，假设我们知道f(x0,y0),f(x1,y1),f(x0,y1),f(x1,y0)四个点的值。这四个点确定一个矩形，我们希望通过插值得到矩形内任意点的函数值。

先在x方向上进行两次线性插值，得到：

再在y方向上进行一次线性插值，得到：

综合起来，就是双线性插值的结果：

如果选择一个坐标系统，使f(x)已知的四个点的坐标分别为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，那么确定一个单位正方形，四个点分别为正方形的四个顶点：

3. 原图像和目标图像的几何中心对齐

在计算目标图像中，对应原图像的虚拟坐标点时，一般的变换是：

这种变换下，原图像的有些点没有参与计算。举个例子，把9∗9的原图像缩小成3∗3，原图像的原点(0,0)和目标图像的原点(0,0)都为左上角，目标图像右上角的坐标为(0,2)，对应原图像的坐标为(0∗(9/3),2∗(9/3))=(0,6)。目标图像右边已经没有点了，(0,6)右边的像素点也就用不到了。

原图像和目标图像的像素之间的对应关系如下：

从图片可以看出，只有圈出来的红色部分参与运算了。目标图像的每个像素点的灰度值相对于原图像偏左上方，右下角的元素实际上没有参与运算。

为了让原图像和目标图像的中心对齐，我们规定另外一种变换方式：

就是在原来的变换后面加了调节因子：

0.5(src_width/dst_width−1)

这种变换下，目标图像的中心点(1,1)，对应了原图像的中心点(4,4)，两个图像的几何中心重合，能充分利用原图像的点，并且目标图像的每个像素点之间都是等间隔的，也都和两边有一定的边距。实际上，在openCv中也是这种变换方式。

4. cv.resize()的计算过程

对于缩小图像，目标图像中每个点都能找到原图像中包围它的四个临近点，每个点都进行双线性插值即可。

对于放大图像，边界附近的点经过坐标变换可能超出了原图像的范围。举个例子，把3∗3的原图像放大成4∗4。

中间的点都能在原图像中找到包围它的四个临近点，做双线性插值即可。

例如，目标图像中的点(1,3)，对应原图像的点为(0.625,2.125)，原图像的纵坐标最大为2，找不到包围(0.625,2.125)四个点，所以用它最邻近的两个点(0,2)和(1,2)做线性插值（外插），得到目标图像中(1,3)的像素值。

例如，目标图像右上角的顶点(0,3)，对于原图像的点为(0,2.125)，直接用原图像右上角的顶点(0,2)作为它的值即可。

计算过程：

用h(x,y)表示目标图像，f(x,y)表示原图像

可以用代码举例子测试：

三次样条插值算法

给定n+1个点，a=x_0