【统计学】标准差，标准误解释与标准误分母为根号n的原因

2024-07-09 12:18| 来源: 网络整理| 查看: 265

1. 前言

相信有不少初学者在刚接触到标准误差时，都会有这样的疑惑。

标准误和标准差有什么区别呢？为什么标准误等于标准差除以根号n呢？

本文将对这两个问题进行解释。

2. 标准差

标准差衡量的是每个样本到样本期望(可以理解为均值)的距离，也就是衡量样本在均值周围的波动情况，它是方差的平方。比如调查一个1000W人口的地区平均身高，我们抽取了10个样本（人），得到如下样本数据（身高，单位cm）：

编号12345678910身高（cm）170170170170170175175175175175

得到的均值，方差，标准差如下：

均值方差标准差172.56.9444442.635231

那么我们可以说，2.64的标准差显示了该样本数据围绕均值的波动情况。

3. 标准误 3.1 概念介绍

那么标准误是什么呢？同样是调查一个1000W人口的地区平均身高，我们选取10组样本（注意，这里是按组选取），每组共有10个样本，然后计算每组样本的均值后，得到共10组样本的均值，这时，该10组样本均值的标准差就是我们所说的标准误，这也是著名语句"样本均值的标准差就是样本均值的标准误"的由来。

3.2 标准误公式的由来

假设X1~ Xn是n个独立同分布的样本的均值，且X~N(μ,σ^2)

已知样本均值

$\bar{X} = \frac{ \bar{X_{1}}+\bar{X_{2}}+...+\bar{X_{n}}}{n}$

那么其方差为

$Var(\bar{X}) = Var(\frac{ \bar{X_{1}}+\bar{X_{2}}+...+\bar{X_{n}}}{n})$

$= \frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}Var(X_{j})$

$==\frac{1}{n}\sigma^{2}$

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