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摘 要

粒子物理标准模型虽然取得了巨大成功，但是模型本身还存在规范等级问题。本文从教学的角度上分析了规范等级问题的意义。标准模型中光子、电子以及其他费米子和规范玻色子质量辐射修正因为有对称性保护而没有二次发散，而希格斯粒子的辐射修正却存在明显的截断能标的二次依赖关系，同时也会依赖与非标准模型的重粒子。本文还挑选了大学物理中精细调节的例子来说明此问题，说明解决希格斯粒子的规范等级问题也是构建新物理模型的重要动机之一。

关键词标准模型；新物理；规范等级问题；精细调节

AbstractThough the standard model of particle physics has achieved great successes, it suffers hierarchy problem. This paper gives a pedagogical introduction to the hierarchy problem. The quadratic divergence of the radiative corrections to photon, electron and other fermions, gauge bosons are absent under the protection of symmetry. However, the explicit quadratic divergence exists in the radiative correction of Higgs boson mass, and the correction also depends on the heavy particles beyond the standard model. The new physics beyond standard model are well motivated by solving the hierarchy problem.

超出粒子物理标准模型（以下简称标准模型）的新粒子物理模型（以下简称新物理)的研究是当前高能物理的重要研究方向。特别是标准模型的最后一块拼图——希格斯粒子被发现以后，新物理研究也进入了一个新的阶段。一方面，标准模型相关物理参数和过程得到越来越精确的测量和检验。虽然大部分的测量结果都符合标准模型的预言，但是也存在一些偏离标准模型预言的结果，比如缪子反常磁矩[1]的测量结果以及最近 CDF 实验组公布的 W 粒子质量实验[2]结果。现在还不是很清楚这些结果是否是因为标准模型理论精确计算的缺失造成的，但是引入新物理模型来解释这些偏离也是一种非常有效的途径。另一方面，天文观测到的暗物质、暗能量现象以及中微子振荡等，这些现象一再确认标准模型并不是描述自然界物质结构的全部理论，新物理模型是必须存在的。为此物理学家构建了很多超出标准模型的新物理模型，相关的研究也在不断快速进展中。

需要说明的是，构建新物理模型的动机不仅仅是因为实验发现的超出标准模型的物理现象，也有来自标准模型理论自身的审美判断。实际上,在明确发现新物理现象之前，物理学家已经因为标准模型自身的理论缺陷而构建超出标准模型的新物理模型了。其中最著名的问题就是标准模型的规范等级问题，该问题也被称为标准模型的自然性问题，即标准模型中唯一标量粒子希格斯的质量辐射修正是二次发散的。这就意味着希格斯粒子的质量项是一个跑动相关 ( relevant ) 算符，它会极端依赖于裸量和修正量之间的精细调节。若无新物理贡献来去掉这种精细调节，标准模型的希格斯部分是极不自然的。解决规范等级问题也成为构建新物理模型的重要动机，而且也是构建众多新物理模型的第一出发点。这是因为相比于构建一些简单唯象理论模型来解释那些超出标准模型的现象，解决规范等级问题可以有效地将粒子物理标准模型和基础场论以及新物理现象结合起来，从而得到将各种相互作用统一的物理模型。因此深刻理解标准模型规范等级问题是从事超出标准模型新物理研究的重要基础。据笔者了解，介绍规范等级问题的中文文献还不是很多。鉴于此，本文计划针对规范等级问题作一个教学性质的介绍，以便读者能够深入理解该问题。同时本文简单介绍解决该问题的方法以及随之产生相关新物理模型。论文作以下安排：第 1 部分介绍标准模型的粒子内容以及规范粒子和费米子质量的辐射修正；第 2 部分重点说明希格斯粒子辐射修正的规范等级问题；最后一部分给出本文的总结。另外需要说明的是，阅读本文需要读者有一定的量子场论基础，文中的量子场论基础知识不作深入讲解。

1 标准模型规范粒子和费米子辐射修正

20 世纪 70 年代，物理学家构造了组成物质基本粒子的 SU(3) × SU(2) × U(1) 定域规范理论，这就是所谓的粒子物理标准模型。图 1 列出了标准模型中所有的粒子，其中左边列出了组成物质的基元，它们通过传递右边所列的规范玻色子或者希格斯粒子来进行相互作用。强相互作用是 SU(3) 颜色自由度的规范相互作用，电磁、弱相互作用是同位旋和超荷空间 SU(2) × U(1) 定域规范相互作用。标准模型已经将电磁和弱相互作用统一起来。注意该模型还没有将引力包含进来，这是因为引力作用太弱了，而且与时空基本属性相关，到现在人们还没有很好的引力量子化办法以及将其与其他相互作用统一起来的最佳方案。2012 年，标准模型中唯一的标量粒子也被探测到，补全了标准模型的最后一张拼图。希格斯粒子引入是必需的，这是因为真空规范对称性保持的理论中不能写入粒子质量项，这和实际物理是不相符的。物理学家通过真空对称性自发破缺的方式来给出费米子和弱相互作用中介玻色子质量。同位旋二重态标量场真空对称性自发破缺使得模型 SU(2) × U(1) 规范对称性破缺到 U(1)（电荷）规范对称性，费米子，W ±，Z 获得质量，这就是著名的希格斯机制。标准模型理论是非常成功的，它的主要验证有 W ±、Z 的发现及其衰变宽度的精确测量、渐近自由的验证等。目前关于希格斯粒子的大部分的实验结果都支持标准模型的预言。有关粒子标准模型的简介可以参看文献[3]。

正如上文所述，标准模型还存在一个重要的理论缺陷：规范等级问题。这其实是关于标准模型相关物理量辐射修正对截断能标的依赖问题。简单说明一下量子场论辐射修正的意义。微观粒子通常用量子化的场来描述，而粒子与粒子之间的相互作用可以利用费曼规则和相应费曼图形来表示。树形费曼图形（树图）给出了具体物理量或者物理过程的领头阶贡献。由费曼规则画出含有圈图的图形给出了相应的树图阶物理结果的修正，这就是辐射修正。如图 2 所示，图中实线圈代表电子，波浪线代表光子[4]。圈中的电子就贡献了光子的辐射修正。该圈图也被称为光子自能图。它可以表示光子传播过程中变成了正负虚电子，然后正负虚电子又湮灭为光子的过程。在场论中圈图计算通常会出现发散，发散可以看作是当前量子场论失效的能标，或者叫紫外截断能标。对这些发散的处理称为场论的重整化，即把发散分离出来，然后再把发散抵消掉。物理学历史上，量子电动力学 ( QED ) 重整化给出了电子反常磁矩的极端精确结果，使得物理学家相信场论的重整化是一种正确的理论。当然，一个好的场论中相关物理量的辐射修正不应该对截断能标过分敏感。在标准模型中除了希格斯粒子外，其他所有粒子均有对称性保护，使得其质量辐射修正对数发散，对于截断能标不敏感。而希格斯粒子的辐射修正却是二次发散的，因而对于截断能标极端敏感。下面我们就分别来分析标准模型中所有粒子质量（来自于自能图）的辐射修正的发散性质。

1）U(1) 规范对称性保护光子辐射修正

光子传递 U(1) 规范相互作用，量子电动力学中，U(1) 规范对称性没有破缺，光子质量严格为零。量子电动力学的场论拉氏量为

其中 m 为费米子质量，e 为光子与费米子耦合常数。光子自能辐射修正主要来自于费米子圈图贡献，如图 2，由此读出的光子自能辐射修正为（定义为 ）

上式中 q μ 是光子传播子的四动量。U(1) 规范对称性要求光子自能图满足瓦德 ( ward ) 恒等式[5]

简单分析即可知应该具有形式

可见的量纲为 0，在计算结果中不会出现截断能标的平方项。积分中存在发散，把其中发散项分离出来的过程称为正规化。关于正规化的方案有很多，这里我们采用最常用的维数正规化方案①（① 圈图计算是场论的重要内容，比较复杂，请读者参阅量子场论教材[4]。）。该方案可以保持 U(1) 规范对称性，其结果为

其中，Δ = m2 - x ( 1 - x ) q2，ε = 4 - d，当 d 趋于 4 时，ε 为无穷小参数。可以看到，2/ε 项即为积分中的发散项。在物理上我们关注的是动量相关部分，因此可以去掉在 q2 = 0 的值，将光子自能重整化为

从以上过程可以看到，由于 U(1) 规范对称性保护，光子自能辐射修正没有二次发散。可以吸收在耦合系数的重新定义中。因此，光子质量严格为零。这其实表明宏观物理中电磁相互作用是长程相互作用。与之类似，量子色动力学中，SU(3) 规范对称性保证胶子质量严格为零。

2）手征对称性保护费米子辐射修正

费米子场是洛伦兹旋量表示，旋量场具有手征性质。所谓的“手征”指的就是粒子左旋和右旋的性质。基本粒子的手征性比较复杂，既有分立变换对称性的左右手性质，又有时空平移变换的左右手性质，这里讨论后者。旋量场 ψ(x) 的手征变换为

其中，φ 为变换参数。由手征变换可知，手征变换下不变，手征变换改变，因此无质量的费米子场具有手征对称性。有质量的费米子场如自由费米子场系统拉氏量为

式中质量项明显破坏了手征对称性。由于拉氏量中只有质量的一次方项，辐射修正圈图结果要提取出来动能项和质量项，因此圈图结果只能是对数发散的。我们以量子电动力学中电子的辐射修正为例，来具体说明费米子辐射修正发散性质。

图 3 展示了量子电动力学中电子自能图，圈图主要由光子电子相互作用顶角和光子、电子传播子构成。光子电子相互作用顶角来源于量子电动力学拉氏量式 (1) 中最后一项，满足手征对称性。当利用电子光子相互作用计算电子质量辐射修正时，其破坏手征的修正项也会正比于引起手征对称性破缺的参数即质量项 m。当 m 趋于零的时候，自能辐射修正恢复手征对称性，则不会修正质量项。这就是手征对称性禁戒质量项的具体表现。自能 ∑(p) 计算结果为

同样利用维数正规化方案可得

其中，ΛUV 为紫外 ( UV ) 截断能标，μ 为光子静止质量。积分中的 2m 项是质量修正项，p 项是动能修正项，因此上式积分是对数发散的。如果 m = 0，则系统恢复手征对称性，自能辐射修正可以吸收在波函数重整化中。电子自能修正是一个典型的展示对称性保护意义的范例。含有质量项的费米子拉氏量明显破缺了手征对称性，但是其相互作用（动力学）保持手征对称性。因此其源于动力学的辐射修正也会正比于破坏手征对称性的参数，由此我们就可以直接判断其发散性质。所以模型破缺的对称性也是模型重要的特征，对相关物理过程有着重要意义，在分析研究中必须慎重对待。下面规范玻色子质量的辐射修正也因为类似原因而稳定。

3）规范对称性保护有质量规范玻色子辐射修正

如上文所述，标准模型中规范玻色子 ( W ±,Z ) 和费米子都是因希格斯机制而获得质量。标准模型中作为物质表示的费米子是手征粒子，左右手粒子规范对称性不一样，因此无法在拉氏量中写下质量项。规范粒子质量项也被规范对称性禁戒。物理学家引入了希格斯场，随着参数的改变，其势能形式如图 4 所示。场量零点位置不是稳定点，真空点从零点移动到了非零位置，费米子因为汤川耦合而获得质量，规范玻色子因为希格斯场的协变动能项而获得质量

其中 YF 是汤川耦合系数，g1 和 g2 是规范耦合系数，v 就是希格斯场非零真空点位置。可见它们的质量平方都正比于希格斯场的真空期望值 v 2，这个真空期望值就是引起规范对称性自发破缺的参量。与上文手征对称性禁戒费米子质量项类似，规范对称性会禁戒有质量规范玻色子质量修正的二次发散。也就是说真空对称性自发破缺之后，规范粒子获得了质量。破缺的规范对称性确保了规范粒子质量修正没有二次发散。W ±，Z 的自能辐射修正图如图 5 所示，图中灰色圈图内有费米子圈图、规范自作用圈图、鬼粒子圈图等。因图形很多，表达式也非常长，这里就不详细列出了。读者可以查出最终得到的辐射修正的结果分为两部分[4]，一部分保持规范对称性，另一部分破坏规范对称性。而所有破坏规范对称性的项正比于希格斯场的真空期望值的平方。当 v 趋于 0 时，自能辐射修正恢复规范对称性。因此有质量规范玻色子质量辐射修正中正比截断能标 ΛUV 平方的项被希格斯场真空期望值 v 2 替代，也就没有了二次发散。

以上讨论标准模型中除希格斯粒子以外的所有粒子的质量辐射修正，可以看到，正是由于规范对称性、手征对称性的存在，这些粒子质量辐射修正不会出现正比于截断能量标度的项。而正比于截断能量标度对数的修正对标度其实是不敏感的，因此从辐射修正的角度看，这些粒子的场论模型是恰当的。

2 规范等级问题和新物理

标准模型中唯独出现问题的是希格斯粒子质量的辐射修正。希格斯粒子质量辐射修正图形主要来自于顶夸克 (t) 圈图如图 6 所示。图中实线粒子表示顶夸克圈，从圈中可读出辐射修正

其中，Yt 是顶夸克的汤川耦合系数，mt 是顶夸克的质量。具体计算可知，不能像公式 (4) 那样可以提取一个类似 q 2 g μν 的项，积分中的两个 γ 矩阵求迹会出现一个直接正比于无量纲参数 Yt 二次方的一点图积分，其结果就会出现截断能标 ΛUV 的二次项，这正是没有对称性保护的结果。正比于截断能标二次方项的情况是模型的严重不足，因为这意味着，如果新物理不在电弱能标附近的话，希格斯质量将极端依赖裸量与修正量之间的精巧抵消。当前测量的希格斯粒子质量在 125GeV 左右。如果截断能标 ΛUV 是普朗克能标 MP～1019GeV 的话，这就要求有关系

这种调节在数学上是允许的，但是物理学家是不能接受这么巨大的调节的。因为 125 这个数相对于 1019 来说就可以看作是零。但是偏偏不能等于零，需要参数的极端精细的调节，才能得到上式的结果。因此规范等级问题也被称为“自然性问题”，如此巨大的调节使得标准模型极不自然。

有人可能会考虑选一个不太大的 ΛUV 来解决上面的问题，但是这就意味着在 ΛUV 标度附近确定存在新物理，这不仅要改变圈图中的传播子，也要重新做能量截断[6]。在只含有两阶导数拉氏量量子场论模型中做到这一点是非常困难的。而存在高阶导数的拉氏量则往往破坏幺正性或因果律。超弦理论中，圈积分在欧几里得动量 p 处以 exp(-p2/ΛUV) 因子的方式来截断，但是此时的 ΛUV 通常被认为就在普朗克能标 MP 附近。

规范等级问题的实质不仅仅是因为圈图计算的二次发散，而是对高能标物理的二次方依赖。后者某种程度上和二次发散相关，但这并不是规范等级问题的全部。二次发散的消失是一个必要的，但不充分的，规范等级问题是否存在的判据[6]。比如，假设存在一个非标准模型的质量为 mS 的复标量场 S 与希格斯场 H 耦合，拉氏量项为 λS | H | 2 | S | 2。相应地，图 7 展示的费曼图给出的贡献为

如果有人不接受 ΛUV 的物理解释而采用维数正规化方案来代替能量截断方案，则二次发散项 ΛUV 就不存在了。但是除非不合理地引入专门的抵消项，否则正比于重粒子质量的项是无法消掉的。这说明对与 H 耦合的重粒子的依赖性质，如果 mS 非常大，则它在标准模型中的物理效应是不退耦的，或者它使得人们理解一个非常小的变得非常困难。不仅如此，希格斯场势函数

只有在 μ 2 < 0 的时候才能产生对称性自发破缺，而通过辐射修正可以轻易使 μ 2 翻转大于 0，则真空对称性自发破缺就不成立了。因此精细调节在标准模型中看来是必须的，但这也是极不自然的，因为参数的轻微改变就可能造成标准模型对称破缺机制的失效。这就是希格斯粒子的规范等级问题。

以上我们专门讨论了标准模型中希格斯粒子规范等级问题，这是高能粒子物理中的一个重要理论问题。其实这种精细调节的自然性问题也会出现在大学物理中，当然此时的调节通常不会被称为规范等级问题。下面举两个大学物理精细调节例子，以便读者可以深入理解物理量的精细调节，进而理解标准模型的规范等级问题。

例1处于静电平衡导体内部电场强度的精细调节。我们知道处于静电平衡导体的电学特征是内部电场强度处处为零，表面电场强度垂直于导体表面。但是这种特征实际上是一种宏观效应。导体内部可以看做是有无穷无尽正负电荷的海洋，在感应电荷和外电场的相互作用下，达到了宏观的平衡。在一个足够小的尺度测量电场，比如测量金属中某个晶胞附近的电场，实际上是可以测量这种微小的电场强度起伏的。就像图 8(a) 静电平衡导体内部验电空腔区域足够小，比如空腔在纳米尺度，此时电场强度测量就不严格为零。如果仅仅从空腔局域的电荷分布来研究附近的电场，那就有很大问题，难以理解微小的电场起伏是怎么产生的。按照静电平衡导体电学特征，内部场强为零但是偏偏测量结果又不等于零。这就是一种精细调节。其实物理学家也在利用这种调节，比如图 8(b) 展示的法拉第笼演示实验。法拉第笼通常都是铁丝网做成的，并不是金属板，不能看做是金属壳，所以严格说外加电场后，内部并不是静电平衡导体壳的内部。笼子内部在小于网格尺度上电场强度并不是零。但是足够小，演示实验中笼子内的人并不会受到电场伤害。此时法拉第笼内电场就是一种精细调节的结果。如果法拉第笼足够大，从局域电荷分布计算其场强，就会出现难以理解的现象。

例2理想气体高速运动分子的概率。理想气体内部分子速度分布满足麦克斯韦速率分布

对于这个分布，物理学家讨论最多的就是气体分子的方均根速率、平均速率、最概然速率等。这里不妨用最概然速率来讨论一个通常大家很少讨论的精细调节问题。最概然速率表达式为

其实麦克斯韦速率分布是一个随速率很快下降的分布。我们要问的问题是相同温度下，10 倍于最概然速率的粒子概率密度与最概然速率粒子概率密度的比例是多少？计算可得，这个比例为

读者简单计算就可以知道这个比例在 10-42 的量级。看上去最概然速率 10 倍的粒子似乎并不是特别大的速率，但是其概率密度竟然下降了 42 个数量级，如果在实验中测的一个分子运动速率大于 10 倍最概然速率的分子，那就是一种极端精细调节的结果。

以上两个大学物理中精细调节的例子给我们以启示，精细调节的问题总是有另外的物理原因使之可以理解。比如利用整体法拉第笼的电荷分布来理解其内局域电场强度非常接近零但是又不等于零的现象，或者利用阿伏伽德罗常数个粒子来理解理想气体中偶尔存在高速运动粒子的情况等。回到本文的讨论主题，为了解决规范等级问题，物理学家提出了众多超出标准模型新物理模型。解决问题的思路主要分为两类。第一类称为动力学破缺机制。该机制认为希格斯场并不是基本场，而是由更为基本的费米子场动力学凝聚产生或者是聚集 ( collective ) 现象。类似于超导理论中的库珀对，两个费米子场凝聚给出了一个有效的标量场。这类模型中最著名的就是人工色 ( Technicolor ) 模型[7,8]。但是这类模型中存在太多的味道改变中性 ( FCNC ) 过程，而与大多数实验结果不符。因此此类模型研究当前并没有成为主流方向。

另外一类解决问题的方案就是类似于费米子和规范玻色子去掉二次发散的方式引入对称性来禁戒希格斯质量修正的二次发散。这样质量项在更高能标的物理模型中是禁戒的，而质量项源于对称性破缺，规范等级问题自然就没有了。根据引入对称性的不同，我们可以得到不同的模型。这种禁戒质量项的对称性主要分为三类，下面以一个标量 φ 的对称变换微元来说明。

1）平移对称性

δφ = εv (19)

其中，ε 是一个量纲为 0 的无穷小数，v 是一个标量场。此类模型中，希格斯粒子类似于赝标哥德斯通粒子，由此建立的模型有小希格斯模型 ( Little Higgs )[9] 等。

2）规范对称性

δφ = ε μA μ (20)

其中，ε 是一个量纲为 0 的无穷小四维矢量参数，Aμ 是一个矢量场。此类模型中，希格斯粒子具有规范玻色子的性质，由此建立的模型有额外维 ( Extra Dimension ) 模型[10,11]等。

3）手征对称性

δφ = εψ (21)

其中，ε 是一个量纲为 -1/2 的无穷小旋量参数，ψ 是一个旋量场。此类模型中，希格斯粒子具有手征费米子变换性质，由此而建立的模型就是超对称模型[6]。

以上由对称性来解决规范等级问题的想法是非常漂亮的，相应的物理模型都得到了大量研究。从唯象的角度来看，在超对称理论模型中，玻色子和费米子是一一对应的，玻色子和费米子圈图对希格斯粒子辐射修正的二次发散都相互抵消了。如图 9 所示，(a)是有二次发散的夸克圈图，(b)是有二次发散标量夸克圈图。图中相互作用顶角贡献的计算系数是相等的，而费米子圈的计算前面会有一个负号，刚好抵消了标量圈的二次发散。特别有意思的是，为了解决规范等级问题的新物理模型，不仅稳定了标准模型，而且可以解释标准模型的偏差比如上文提到的缪子的反常磁矩，给出暗物质候选者，实现规范耦合常数统一等优点。因此物理学家坚信由解决规范等级问题出发构建超出标准模型是新物理模型最佳途径之一。相关新物理模型是前沿新物理的重要研究方向，物理学家业已对某些模型的对撞机唯象，暗物质及其对标准模型过程虚修正做了详尽的研究。相信随着物理实验探测手段的不断进步，物理学家终将揭开新物理的神秘面纱。规范等级问题是否重要，标准模型是否自然，也会得到解答。

3 结语

粒子物理标准模型虽然取得了巨大成功，但是从理论本身看，标准模型还存在规范等级问题。希格斯的质量辐射修正是二次发散的，它会极端依赖于裸量和修正量之间的精细调节。本文从教学的角度上仔细分析了标准模型中光子、电子以及其他费米子和规范玻色子质量辐射修正的发散性质。这些粒子辐射修正因为有对称性保护而没有二次发散。希格斯粒子的辐射修正却存在明显的截断能标的二次依赖关系。即使利用维数正规化方案，辐射修正不明显依赖于截断能标二次方，希格斯粒子质量辐射修正仍然会极端依赖于一个非标准模型的重粒子。这就是规范等级问题。

本文也对规范等级问题本身作简单评论。诚然，规范等级问题可以说纯粹是物理学家对理论模型的审美判断，并不是真正的超出标准模型实验现象。但是物理模型的稳定性、物理参数合理性是判断一个理论是否完美的重要判据。因此有人这样比喻标准规范等级问题和自然性，就好像有一根针竖立在（并未插入）光滑桌面上很多年一样。虽然在物理上这种情况是可以存在的，但是如果没有特定原因，这种现象的确是难以接受的。规范等级问题指出了标准模型理论自身的困境，是值得物理学家深入思考的。由解决规范等级问题出发，物理学家构建了很多超出标准模型新粒子物理模型，如小希格斯、额外维和超对称模型等。新物理模型的唯象研究也是当前高能物理的主流方向之一。这些有着良好动机的新物理模型在解决规范等级问题之余，还具有解释暗物质现象、实现规范耦合常数统一等优点。这是很多粒子物理学家对新物理充满希望的重要原因。希望本文能够使读者对粒子物理标准模型的规范等级问题有所了解，更期待未来物理学实验和理论的发展，能够为人类揭晓这些未解之谜的答案。

参考文献

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基金项目：国家自然科学基金(11775012)。

作者简介：王雯宇，男，研究员，主要从事理论物理的研究和教学工作，主要研究方向为高能物理、超出标准模型新物理，[email protected]。

引文格式:王雯宇, 庞维晨, 武珂运. 粒子物理标准模型的规范等级问题[J]. 物理与工程, 2022, 32(4): 16-23.

Cite this article: WANG W Y, PANG W C, WU K-Y. The hierarchy problem of the standardmodel of particle physics[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(4): 16-23. (in Chinese)

本文转载自《物理与工程》微信公众号

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