一文搞懂考研数列极限问题(概念/计算/证明)史上最强/最全总结!! |
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不管本科高数还是考研数学,数列极限问题,看这一篇文章管够,看完还不会做你来找我! 数列极限,是数列和极限两个充满不确定性的概念相混合,容易让人产生摸不着头脑,看到题目就害怕的感觉,本篇文章就按以下目录对这块儿重难点拨云见日,内容循序渐进,越往后越精彩,大家可以自行感受一下! 01 什么是数列 02 数列的极限 03 数列极限的计算(三种类型) 04数列相关证明题(两种类型) 01 什么是数列?(掌握难度:★)从字面意思就可以看出来:数列数列,就是将数排成队列。详细点来说,就是将一堆数按照某种规律排成一排,p.s.类似军训,教官让我们按照从矮到高(某种规律)排成一排。 这时,有个数在开小差,教官就开始点名了。还记得我们当时军训时教官是怎么点名的么? “第m排第n列,请出列”——这耳熟能详的语句。 由于我们的数只有一列,所以我们就变成了,“第n个数请出列”。为了描述方便我们用符号 但是,人总是贪心的。所以一定会有人问:“你不是说每一项你都知道么?那么第无穷项是多少呢?”这个时候就涉及到了数列的极限。 02 数列的极限(掌握难度:★★)针对刚刚的问题——数列 上式的结果,有些是可预测的(可计算出结果),有些是不可预测的(结果不确定),如下: 例如:(1) (2) (3) 数列(1),在-1和1间摇摆不定,"第无穷项"鬼知道是1还是-1,因此极限不存在; 数列(2),随n增大, 数列(3),随n增大,每一项的分母都会无限制的增大,进而每一项会越来越小,最终 所以可知,当
极限趋近的数学表达式: 设{ 讲完了定义,接下来讲一下数列极限的计算。(对于考研的同学来说,这块是难点内容)。 03 数列极限的计算(掌握难度:★★★★):类型一:求解法技巧: a.利用极限相关知识直接计算 (有时会运用到不等式放缩、夹逼定理。p.s. 通常它们两者是同时运用的) 相关例题: b.令n=x或1/x,从而将离散的数列转变成连续可导的函数来做。函数有着优良的处理手段,微分中值定理、洛必达,等价无穷小、泰勒展开等。进而使问题得到解决。 相关例题: 可见本题利用换元,将离散的数列变成一个具有优良性质的函数,进而利用函数的极限知识来求解数列极限,即实现了由陌生到熟悉的过程,最终解决问题! c.利用级数相关知识求极限(如果级数 相关例题: 解题技巧: a.利用高中知识求解 有可能会用到的高中知识: (1)若
(2)若
(3)等差*等比求n项和时运用错位相减:{ 作差后:
(4)裂项相消 相关例题: 解数列极限所用到的高中知识点,常见的也就是如上4条(等差数列求和、等比数列求和、错位相减、裂项相消),掌握好即可!!! b.不等式放缩+夹逼定理(两者好似如胶似漆的情人,往往成对出现) 相关例题: 这种类型往往放缩是一个难点,那么如何放缩呢?这就需要平时多做题多总结。比如左边例十三这种n项分式相加的题目,往往考虑到放缩分母至相同,因为这样可以简化式子。那么是什么条件能够告诉你确实可以这样做呢?那就是题目中所说的:最大分母和最小分母是等价无穷大;又如右边例十四,将每一项都放大为1,得到一个式子;同时把小于1的每一项都缩小为0,又得到一个式子,为什么要这么做呢,因为我知道任何正数开无穷次方都为1,所以就想到这样放缩,最后夹逼到1,因此做这种类型的题目,平时一定要多总结!!! c.定积分定义(离散与连续的转化思想) p.s. 有难度的题会协同放缩、夹逼定理一起为难你。 这种类型题目就是把所求的目标极限转化为标准的定积分的定义式,然后将此数列转化为定积分来做,即可得到解决。这里先回顾一下定积分的定义: 如上图所示,如果想要求a、b两点之间曲线和x轴之间的面积S,我们会怎么做呢(假如我们还不知道定积分这个东西),是不是想要找熟悉的形状去进行一个估计呢,这确实是一个好办法,事实上,很多数学家都是这样做的:用若干个等宽的矩形去填充这个区域。如图所示,当只用6个等宽矩形去填充这个区域时,此时这些矩形的总面积为S阴(表达式在图下),结合图可以知道此时用S阴去代替所求的面积S误差会很大,但是随着这个矩形宽度减少到 可见左边是一个数列的极限,而右边是定积分。定积分的计算我们比较熟悉了,所以这个式子即可把抽象的数列极限转变为定积分,用积分来解出值。所以遇到此类题的时候,要想方设法将所求的极限变成定积分定义式的表达形式,进而求解。 注:一般来说,所遇到的此类题大都是b=1,a=0。即为: 相关例题: 可见,有时候定积分定义可以和不等式放缩一起来考察,即把一个式子放缩至两个定积分定义,且两个定积分值相等,再用夹逼准则即可。 d.利用级数求和来解决(数学1和数学3) 即是将无穷项数列极限 相关例题: 总结一下,就是首先将 类型三:已知 解题技巧: 利用线性代数知识(对角化的其中一个运用) 若数列的递推公式形如 这块可以认为是线性代数的一个运用,即利用相似对角化解决矩阵A的n次方问题。从而求出对应的 相关例题: 04 数列相关证明题(掌握难度:★★★★★): 即证明 类型一:知道递推关系证明收敛(形如 这种类型大致分为以下两种思路:一个就是逐渐增加(或减少)但是有界限,进而逐渐趋近于所求的极限;另一种就是类似于振荡的趋近于某个极限。两种类型的示意图如下所示: 那么如何快速判定你所求数列的极限是哪一种形式呢?这里即也要从函数角度来思考。 首先这种类型的题目我们是知道递推式: 先说结论吧: a.若f(x)是单调递增,那么数列 证明:假设 同理:当 b.若f(x)是单调递减,那么数列 证明:假设 可推知其为振荡数列。 c.若f(x)不单调,但 证明过程和a类似,这里就不再证明啦!! 所以既有如下图所示的证明流程思路: 接着就可以用以上的流程开始做题了,具体题目如下所示哈: 相关例题: 上面两题即是常见单调数列证明收敛的手法,即单调有界法!!说白了就是证明两点:1.单调;2.有界。 注:也可以通过证明数列单调递增有上界或者单调递减有下界,同样能证明出数列收敛。 下面来看下振荡数列如何证明其收敛 上面两题即是当数列不单调时证明其收敛的手法。其难点在于第二步,如何找到对应的A和B。其中,A是数列最终收敛于的数,因此这里我们先假定 且当 那么B如何求呢?一般是通过将所构造的 类型二:求不出形如 这种求不出来递推式的数列极限,相对较难求,此时无法用上述类型一的两种套路方法。 此时需要根据具体表达式具体来做。大致步骤分为两步:1.列出含有 相关题目: 从上面两题可以看出,利用表达式求解即一般就是找到 |
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