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求极限的方法:
1.普通求极限 我们知道求极限的考点往往都是考分子分母型的,因为这样可以有效利用等价/高阶/低阶无穷小的理论,即使求极限是加减乘的类型,我们也尽可能要转化为除法的类型(这就是七种未定式),然而,知道这些还不够,因为考研是一项选拔性考试,不是水平考核性质的考试,学会将应对水平考试的态度和习惯转化为应对选拔性考试十分重要,在此基础上,要清楚的认识到,高数教科书上的题只是最基本的,要应付考研,需要有更深入的思维。在求极限方面也是一样(所以最基本的洛必达法则一般用不上)。 例题一、 面对这道题,用等价/高阶/低阶无穷小显得不能用(因为是趋近于无穷),但是,我们就要比谁更大,即寻找最大项(张帆老师把这个叫“大哥理论”),然后使用无穷大替换(即用最大项替换全部),在 由于 例题二、 基本操作, 变成了 我们知道,等价/高阶/低阶无穷小替换的本质其实是转化为幂函数的形态,所以为了在0处能够把sinx和cosx转化为幂函数,在加减法的环境下应用等价无穷小,就要用到麦克劳林公式(平时老师说不能在加减法情况下应用等价无穷小是因为精度不够,应用了麦克劳林公式就能确保精度,那么到底要展开到哪几项呢?因为分子分母的最大项精度要保持一致才能互相消去,比如这道题就要分母上下可以同时展开到 例题三、 这道题需要用到一个小技巧,即 例题四、 由于是 例题五、 这里要注意 而 同理,以下极限也可以应用这个理论,用一个因式替换全部: 例题六、 遇到有 例题七、 第一步先通分化为乘除法得到 此时,分母无穷小替换得 此时,我们可以想到,分子的最大项为次数最小的项,通过对分子进行麦克劳林展开可以发现, 注意,这里有些同学可能觉得分子化到 例题八、 遇到 例题九、化幂指函数为对数 这一类的题比较特殊,比如下面这道题会有同学将两个重要极限之一 设函数 用同样方法化为对数做。 例题十、 某些函数等价无穷小也比较难替换,可以用拉格朗日中值定理来等价无穷小替换 数列极限: 从而 例题十、综合应用 这一类较为繁琐,可能同时用到变限积分、泰勒、等价无穷小、洛必达,一般做题的顺序是先等价无穷小、再泰勒、最后用洛必达,中间化简的过程中遇到极限为常数的因子直接带常数。 首先令 使用等价无穷小替换 使用泰勒公式得到 最后使用洛必达法则
下面附上一些常用泰勒展开和等价无穷小,考试的时候务必要记住: 其中 ①式减②式可以得到 1减③式可以得到 ④式减1可以得到 ⑤式减1,可以得到 还有一些要记住 一句话,变限积分求极限,一般用洛必达法则,既然应用了洛必达法则,那么变限积分的求导一定又是过不去的一道坎。这个我打算放到求导那章整理。 此外,某些变限积分的极限化简可以用泰勒公式来简化. 例1 这道题常规做法是用洛必达化为 实际上用泰勒展开也可以做 例2 原式 例3 这道题分母为1,不能用洛必达,又是趋于无穷不能用泰勒,只能用夹逼准则了。 当 故当 由于 故 由于上式左右两端在 故由夹逼准则 数列求极限的方法主要用到了夹逼准则、单调有界准则、化为定积分求解 例题1: 证明:(1) (2)设 解: (1)遇到有根式的分母,首先想到的是分子分母有理化,不等式左右两侧分母无法进一步有理化,只能分式中间开始有理化,同时乘以 变形得到: 上式很容易看出成立。 (2)数列极限,要用到单调有界准则,至于怎么用,第一问给了提示。首先判断数列的单调性,让 故数列单调递减,这样只要证明数列大于某个数就行了,由第一问的结果可以将数列放缩为: 故 例题2: 设数列 解:可以用拉格朗日证明数列的单调性
由于 由于 当 假设 当 则 故对所有 由于 这个时候,不妨设极限为一个常数 设 则 故由 得到 求得 例题3: 求极限 这个要用到夹逼准则,而这种无穷数列恰好又能化为定积分。 变形 转化为积分 从而得到极限为 例题4: 这题一开始想到夹逼准则,但是实际上不太行,正确思路是化为定积分 原式= 例题5: 当 求极限 我们知道,取对数可以解决的问题有两种,一种是 由于 故由夹逼准则得原式=
方法一:等价无穷小的转化 在乘除中使用 方法二:极限的四则运算法则 方法三:洛必达法则 方法四:泰勒公式 方法五:两多项式相除 6:无穷小与有界函数的处理方法 7:数列极限中等比等差数列公式的应用 8:数列极限中各项的拆分相加 9:利用Xn 与Xn+1极限相同求极限 10:夹逼准则 11:两个重要极限的应用 12:当趋于无穷大时,不同函数趋于无穷的速度是不一样的。 13:换元法 14:利用定积分求极限 15:重要的高阶无穷小
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