函数的极限 |
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目录 函数极限的定义: 数列的极限和函数极限 定理1: 自变量趋向有限制时,函数的极限 左右极限: 定理: 需要分左右极限求极限的三种问题: 例题: 例2: 极限性质: 保号性: 函数的保号性 例题: 极限值与无穷小值 夹逼准则: 单调有界准则: 例题: 例题: 编辑 例题: 无穷小量: 无穷小的性质: 无穷大量: 无穷大量的比较 对于数列的无穷大: 无穷大量的定理: 无穷大量与无界变量的关系: 无穷大量与无穷小量之间的关系: 函数极限的定义:最浅显的理解就是当自变量x趋向于正无穷时,我们的函数值无限接近于A。 如图所示,当x无限增大时,f(x)的图像无限接近于直线y=A 。 如何理解这部分呢? 答: 理解:
这里的理解: 总体的理解,一句话。
几何理解: 数列的极限和函数极限这是我们上节课学习的数列的极限,数列的极限其实就是一个正标函数:
与其他函数的不同点在于正标函数的自变量只能够取正整数。 那么数列的极限和函数的极限之间的关系是怎样的呢? 我们的函数的极限可以推出数列的极限,但是数列的极限无法推出函数的极限。 原因是我们的函数的自变量可以是任意的实数,而我们的数列的自变量只能是正整数。 由一般的可以推出特殊,但是由特殊推不出一般。 例如: 对于f(x),我们的自变量x可以为任意实数,所以我们的f(x)是在[-1,1]之间波动的,所以f(x)没有极限,因为f(n)的自变量为正整数,所以f(n)始终等于0,所以数列f(n)的极限值为0. 所以当我们想要求出数列的极限时,因为函数的极限可以推导出数列的极限,所以我们可以把数列的极限转换为函数的极限求。 意义是什么呢? 假如我们想要使用洛必达法则求极限,我们首先要要求数列是可导的,但是数列的自变量是只有正整数,所以数列不能使用洛必达法则,所以我们可以把数列转换为函数,调用洛必达法则求极限。
不再赘述。 反之不成立,我们需要保证两个单侧的极限值相等,才成立。 定理1:例题: 极限值是多少?
对于数列的极限呢? 自变量趋向有限制时,函数的极限我们对定义进行理解:
我们对这里进行理解: 一句话理解: 几何意义:
所以x不等于x0,但是x不能等于x0 如图像所示,x趋近于x0,但是x不能等于x0,f(x)趋近于A,f(x)可以等于A。
举例: 这个函数在x=0时是没有定义的,所以f(0)和极限是没有任何关系的。 我们再举一个例子: 这个极限值是多少? 答:
这样写对吗? 这种写法是错误的。 所以极限是不存在的。 所以,许多教材写的这些的定理也是错误的。 三角和方框代表的是函数,所以我们是要把这些函数当作自变量来求极限,所以我们要保证这些函数的函数值在自变量趋于0时不等于0,否则就是极限不存在。 所以我们要保证三角或者方框趋近于0且不等于0. 第二种理解方法: 左右极限:我们画一个简图帮助理解: 定理:当极限存在并且等于A时可以推出左右极限都存在并且等于A,反之也成立。 需要分左右极限求极限的三种问题:第一种见的很多,不需要赘述。 例如: 许多人直接说极限是无穷大,是错误的,我们要分情况进行讨论。
例如:
例如: 我们画出arctanx的图像:
例如: 例题: 例2: 极限性质: 数列收敛就是数列有极限的意思,当数列收敛时,数列一定有界。 反之成立吗,我们举一个反例: 我们的数列是有界的,但是我们的数列是在-1和1之间来回跳转的,所以我们的数列是没有极限。 证明:有界数列不一定收敛。 为什么收敛数列必有界? 答:
那么对于函数来说,有这些性质吗?
这就是局部有界的意思。 反之成立吗? 不成立,我们举出反例。 所以,收敛函数可以推出函数在某去心领域内有界,反之不成立。 保号性:我们进行说明:
参考上面的证明。 我们能不能把定理这样修改: 不能,我们对定理1举反例: 我们对定理2举反例: 函数的保号性如果极限值A>0,那么存在一个去心领域,在去心领域内部,f(x)始终大于0. 如果存在一个去心领域,在去心领域内部f(x)大于等于0,那么极限值A大于等于0. 例题:
极限值与无穷小值 f(x)的极限为A时的充分必要条件是f(x)=极限值加一个无穷小值。 我们进行证明: 夹逼准则: 我们把数列极限的定义和夹逼准则放在一起: 我们进行画图解释: 单调有界准则:单调有界数列必定有极限,有界的意思是既有上界又有下界,并且上界和下界的值相等,数列还是单调的,所以数列一定有极限。 因为我们的第一项就是下界,所以上界下界都控制了,所有就有极限。 第二个不再赘述。 例题:结果对吗? 例题:例题:
第二种解法: 无穷小量:
无穷小之间的比较比较的是趋近于0的速度,
表示a(x)趋近于0的速度大于B(x) 表示a(x)是B(x)的高阶无穷小。 无穷小的性质: 无限个无穷小的和还是不是无穷小呢? 答:无限个无穷小的和不一定是无穷小,例如:
那么这道题目呢?
第一种解法:
这种写法是标准的错误,错误原因在这里:
最正确的写法: 无穷大量:
趋向于无穷包括正无穷和负无穷。 对无穷大量的数学理解:
M是任意值,而函数值的绝对值比任意值都大,那么函数值就是正无穷或者负无穷,这个是结论。
无穷大量的比较 后面的比前面的趋向于无穷大的速度更快。 后面一个闭上前面一个的极限是无穷大。 前面一个闭上后面一个的极限是无穷小。 例如: 对于数列的无穷大:例题: 无穷大量的定理:
无穷大*有界的结果是无穷大吗? 对于数列,第一个是有界,第二个是无穷大,但是相乘的极限值为1. 无穷大量与无界变量的关系:无穷大量是存在一个N,在N之后的所有项对应的Xn都为无穷大。 误解变量是存在一项,使Xn为无穷大。 无穷大量是都很大,而无界变量是有很大。 所以由一般可以推导出特殊,而由特殊无法推导到一般。 举一个例子: 这是一个无界变量,但是无法推导出他是无穷大量。 例题: 上面的一段的极限为无穷,而下面一段的极限是0,所以Xn是无界变量。 无穷大量与无穷小量之间的关系:
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