原创 Quanta Magazine zzllrr小乐

量子杂志每周都会解释推动现代研究的最重要的想法之一。本周，资深数学作家 Jordana Cepelewicz 讲述了如何“密铺”平面的数学研究价值。

作者：Jordana Cepelewicz（量子杂志资深数学作家）2024-2-26

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-2-28

我们周围随处可见密铺（tiling）。这些几何图案——覆盖平面的互锁形状的排列——出现在古代马赛克和埃舍尔（M.C. Escher，1898 - 1972）绘画、装饰壁纸和浴室地板设计中。它们也出现在自然界中的蜂窝、蛇皮、岩层等结构中（参见 https://www.quantamagazine.org/scientists-uncover-the-universal-geometry-of-geology-20201119/ 以及 https://skfb.ly/6WBJX ）。

几千年来，数学家们一直对这种图案着迷，他们也将其称为镶嵌（tessellation）。他们想要回答的核心问题很简单：一组给定的形状能否“密铺”无限的二维平面，填充整个空白而没有间隙或重叠？正方形可以；正五边形不可以。事实证明，这个问题的一般版本非常困难——理论计算机科学家称之为“ 不可判定的”（undecidable，参见 https://www.quantamagazine.org/how-godels-proof-works-20200714/ ）。编写一个算法来判定所有可能的瓷砖集合答案是不可能的。

因此，数学家们并没有尝试以这种方式研究密铺问题，而是将目光投向了个体图案，通常通过使用不同形状和规则可能会发生什么来反复试错。为此，他们必须游历数学王国，从几何、拓扑到代数、数论。他们必须考虑无限以及令人惊讶的对称性（参见 https://www.quantamagazine.org/how-to-make-impossible-wallpaper-20130305/ ）。他们必须挑战人类直觉的极限。（正如一位数学家曾经对我所说，“你想了解密铺的结构。想知道它们可能有多么疯狂”）

这些只是数学家认为密铺如此引人注目的部分原因。有另一个原因：这是数学研究中为业余数学家和爱好者留有空间的罕见领域之一。许多非专业人士取得了重大进展，其中包括邮件分拣员罗伯特·阿曼 (Robert Ammann)；大卫·史密斯（David Smith），一位退休的印刷技术员；以及加州家庭主妇玛乔丽·赖斯 (Marjorie Rice) 。在一个以技术术语和高进入门槛而闻名的领域中，密铺的研究是一个重要的例外，让人想起旧的数学时代。

已退休的大卫·史密斯 David Smith

这并不是说这件事很容易。

但最近数学家和非数学家都取得了一系列令人兴奋的进展，最终意外地发现了一种非常特殊的瓷砖。

新颖且值得注意的内容

历史上，数学家一直在寻找有关密铺的几个问题的答案。第一：什么形状是可能的，什么形状是不可能的？（参见 ）有些形状，无论你如何努力将它们楔在一起，根本无法密铺平面。但是稍微拉伸或挤压它们，使形状的轮廓更加不规则，你可能会成功（参见 https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/ ）。

类似地，你可以通过多种不同的方式尝试使用一组给定的形状来密铺平面。例如，你可以用正方形覆盖平面，只需将正方形瓷砖的副本按行和列彼此相邻放置即可。但如果你使用三角形就不能这样；你还得旋转一些瓷砖。

正方形和三角形都可以形成周期性的密铺——由重复图案构建的镶嵌。但数学家也对非周期性密铺感兴趣（参见 https://www.quantamagazine.org/math-that-goes-on-forever-but-never-repeats-20230523/ ），这种密铺缺乏整体重复模式（并且永远无法重新排列成周期性的密铺），因而更难找到。第一种非周期性密铺发现于1960 年代，依赖于多达 20426 个不同瓷砖的排列。数学家们立即想要降低这个数字。1970 年代中期，罗杰·彭罗斯 (Roger Penrose，1931 -) 发现了两块可以形成非周期性图案的瓷砖。（他的非周期性密铺在对自然发生的“准晶体”结构的研究中以及物理学家最近对量子纠错码的研究中都有体现。参见 ）

但几十年来，数学家们一直找不到一个单一瓷砖（瓦片）密铺的解。

他们后来找到了一些解决方法。2010 年，杜克大学物理学教授 Joshua Socolar 和塔斯马尼亚的业余数学家 Joan Taylor 设计了一个单一的不连通的瓷砖，可以移动、旋转和翻转，以非周期性地覆盖2维平面。2022年，我写了一篇类似的文章，发现了一种极其复杂的瓷砖，它可以非周期性地密铺高维空间，而无需旋转或反射（参见 https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/ ）。

图源：DVDP

然后，去年，一个不拘一格降人才的团队——退休的印刷技术员史密斯，以及一名数学家、一名计算机科学家和一名软件工程师——宣布他们终于找到了“爱因斯坦”（https://www.quantamagazine.org/hobbyist-finds-maths-elusive-einstein-tile-20230404/ ），一种能够非周期性密铺二维平面的单一连通形状。（在德语中，“ein stein 爱因斯坦”的意思是“一块砖”或“一块石头”。）该小组发现了一整族这样的瓷砖。数学家曾经想知道“爱因斯坦”是否真的存在，现在他们知道有无限多个这样的形状。

这一发现不会终止对新型瓷砖和密铺的探索。仍有新图案待发现和新问题待回答——例如，是否存在所有“爱因斯坦”瓷砖共有的更广泛的属性——以及新的几何边界需要探索。