来源：雪球App，作者： 市川新田三丁目，（https://xueqiu.com/3776526626/126432650）

本文参考资料：financetrainingcourse.com/education/2011/03/option-pricing-black-scholes-probabilities-explained-understanding-nd1-vs-nd2/

美国哥伦比亚大学数学系教授Lars Tyge Nielsen

在题为《Understanding N(d1) and N(d2):Risk-Adjusted Probabilities in theBlack-Scholes Model》的文章中对Black-Scholes期权定价模型中的N(d1)和N(d2)的含义做了解读，并阐述了这两者之间的区别。文中谈到，在期权合约到期前不分红股票的欧式看涨期权的定价公式为：

C= S*N(d1) – X*e-rt*N(d2)

其中，

C为欧式看涨期权的期权费； S为当前的股价； X为期权到期日当天的股票行权价； t为以年为单位表示的期权合约剩余期限； r为市场上的无风险利率水平； N(.)为累积标准正态分布函数，即经风险调整后的概率值。

该公式将欧式看涨期权的损益分为两个部分：1、期权到期日当天股票被行权后收到的金额；2、期权合约期间内持仓股票的价值。这两个金额的大小均取决于看涨期权是否会被行权，看涨期权只有在期权到期日当天处于价内期权状态时才会被行权，即期权到期日当天的股价ST高于行权价X的概率，也就是：

P(ST>X)

这两部分价值的将来值和现值的计算过程如下：

看涨期权行权价的将来值和N(d2)

如果在期权到期日当天看涨期权被行权，预期将收到的金额=行权价*期权到期日的股价超过行权价的概率（即看涨期权被行权的概率），

-X* P(ST>X)

看涨期权被行权后预期将收到的金额的现值=用期权合约剩余期限内无风险利率水平对行权价贴现后的金额，即:

-X* P(ST>X)* e-rt

如果将该结果与欧式看涨期权计算公式中的第二部分进行对比，-X* P(ST>X)* e-rt = – X*e-rt*N(d2)，就会发现N(d2) = P(ST>X)，也就是说N(d2)为看涨期权是否会被行权的经风险调整后的概率。

Receipt of stock and N(d1)

持仓股票的将来值和N(d1)

与N(d2)相比，N(d1)的含义有点复杂。股票投资的损益取决于看涨期权是否被行权，因此投资股票预期将获得的将来值=股价ST*行权概率，即:

E(ST|ST>X)* P(ST>X)

条件概率

是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。E(A|B)为满足“在B的条件下A的概率”这一条件下的预期收益。

前面提到过N(d2)=P(ST>X)，因此E(ST|ST>X)*P(ST>X)也可表达为:

E(ST|ST>X)* N(d2)

注意，E(ST|ST>X)为条件期望值，即在ST的价格大于行权价X的情况下投资股票预期将获得的将来值。如果没有该条件的约束，那么ST在任何情况下预期将获得的将来值均等于Sert，即E(ST)=Sert。由于存在该制约条件，因此E(ST|ST>X)的值将总是大于E(ST)，下面的例子可以很好地说明这一点。

比如掷出一个有六个边的骰子，骰子的六个边上有数字1-6，数字4出现的概率为六分之一。假设事先可以知道下一次掷骰子出现的数字将大于3，这种情况下4出现的概率有多大？此时的条件概率将是1/3，而不是1/6，数字4出现的概率之所以会升高是因为我们在预测结果的时候只需考虑出现的数字大于3的情况。

与此同理，E(ST|ST>X)的值将总是大于E(ST)，因为在计算预期价值的时候将只考虑股价高于行权价的情况，故一定是E(ST|ST>X)*N(d2)>E(ST)* N(d2)=Sert*N(d2)

如果将投资股票在期权到期日的将来值用期权合约剩余期间内的无风险利率水平进行折现，以上不等式将调整为：

E(ST|ST>X)*N(d2)*e-rt>E(ST)*e-rt*N(d2)= S*N(d2)

如果将Black-Scholes欧式看涨期权公式第一部分的SN(d1)带入该不等式，结果如下:

S*N(d1)=E(ST|ST>X)*N(d2)*e-rt>E(ST)*e-rt*N(d2) = S*N(d2)

换句话说，N(d1)这个因素总是会让通过看涨期权行权获得的股票的现值高于当前的股价。

N(d1)和N(d2)的区别之处

前面提到N(d2)只是看涨期权被行权的经风险调整后的概率，只有当股票的市场价ST>行权价X的时候，才会与行权价X之间有关联。

同时，N(d1)的值应总是高于N(d2)，因为在Black Scholes定价模型里，N(d1)与持仓股票的回报有关，因此N(d1)不但要考虑N(d2)决定的看涨期权是否会被行权这一因素，还要兼顾看涨期权的行权损益将取决于期权到期日当天的股价这一情况，因为在计算期权到期日当天股票将来价值的时候股价高于行权价可是一个给定条件。