在已知水准点A、B（其高程无误差）间布设水准路线，如图3-5所示。路线长为 S 1 = 2 S_1=2 S1​=2km， S 2 = 6 S_2=6 S2​=6km， S 3 = 4 S_3=4 S3​=4km，设每千米观测高差中误差 σ = 1.0 \sigma=1.0 σ=1.0mm，试求：

(1)将闭合差按距离分配之后 P 1 P_1 P1​、 P 2 P_2 P2​两点间高差的中误差； (2)分配闭合差后 P 1 P_1 P1​点高程的中误差。

解：(1)由误差传播定律易知，路段1、2、3的测量中误差分别为 2 \sqrt2 2 ​mm、 6 \sqrt6 6 ​mm、 4 \sqrt4 4 ​mm。（以第一段为例： σ 1 = σ 2 + σ 2 = 2 \sigma_1=\sqrt{\sigma^2+\sigma^2}=\sqrt2 σ1​=σ2+σ2 ​=2 ​mm）

又 H B = H A + H 1 + H 2 + H 3 H_B=H_A+H_1+H_2+H_3 HB​=HA​+H1​+H2​+H3​ 得 H B H_B HB​的测量误差 σ B = σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 = 2 3 m m \sigma_B=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2}=2\sqrt3mm σB​=σ12​+σ22​+σ32​ ​=23 ​mm

由水准等精度观测知，误差应以路线长度为权重，按比例分配，分别为2、6、4。

则 σ ‾ 2 = 6 12 σ B = 3 m m \overline{\sigma}_2=\frac{6}{12}\sigma_B=\sqrt3mm σ2​=126​σB​=3 ​mm

(2)有了第(1)问的误差分配并修正之后，得到修正值 σ ‾ 1 = 2 12 σ B = 3 3 \overline{\sigma}_1=\frac{2}{12}\sigma_B=\frac{\sqrt3}{3} σ1​=122​σB​=33 ​​mm， σ ‾ 3 = 4 12 σ B = 2 3 3 \overline{\sigma}_3=\frac{4}{12}\sigma_B=\frac{2\sqrt3}{3} σ3​=124​σB​=323 ​​mm。由式 H P 1 = H A + H ‾ 1 H_{P_1}=H_A+\overline{H}_1 HP1​​=HA​+H1​可计算 P 1 P_1 P1​的高程，再误差传播定律得到 P 1 P_1 P1​点高程的中误差 3 3 \frac{\sqrt3}{3} 33 ​​mm。

同理使用式 H P 1 = H B − H ‾ 2 − H ‾ 3 H_{P_1}=H_B-\overline{H}_2-\overline{H}_3 HP1​​=HB​−H2​−H3​也会得到一个结果。但是经过计算发现，两个结果不同。答案是错误的。

为了找到原因，我们从另一个角度重新看第(1)问。

要计算 σ ‾ 2 \overline{\sigma}_2 σ2​，可以认为我们对 H 2 H_2 H2​进行了两次观测，分别是直接观测 H 2 H_2 H2​，和间接测量 H 2 = H B − H A − H 1 − H 3 H_2=H_B-H_A-H_1-H_3 H2​=HB​−HA​−H1​−H3​，这也符合存在一次多余观测的事实。

那么两次测量值，怎样取最终结果？当然要先根据它们的测量误差分配权重。

由误差传播定律易知，两次测量结果的中误差分别为 6 \sqrt6 6 ​mm和 σ 1 2 + σ 3 2 = 6 \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_3^2}=\sqrt6 σ12​+σ32​ ​=6 ​mm，误差相同，权重相同，即： H ‾ 2 = 1 2 H 2 + 1 2 ( H B − H A − H 1 − H 3 ) \overline{H}_2=\frac{1}{2}H_2+\frac{1}{2}\left(H_B-H_A-H_1-H_3\right) H2​=21​H2​+21​(HB​−HA​−H1​−H3​)

则 σ ‾ 2 = 1 4 σ 2 2 + 1 4 σ 1 2 + 1 4 σ 3 2 = 3 m m \overline{\sigma}_2=\sqrt{\frac{1}{4}\sigma_2^2+\frac{1}{4}\sigma_1^2+\frac{1}{4}\sigma_3^2}=\sqrt3mm σ2​=41​σ22​+41​σ12​+41​σ32​ ​=3 ​mm

同理，对于 H ‾ 1 \overline{H}_1 H1​可得： H ‾ 1 = 5 6 H 1 + 1 6 ( H B − H A − H 2 − H 3 ) \overline{H}_1=\frac{5}{6}H_1+\frac{1}{6}\left(H_B-H_A-H_2-H_3\right) H1​=65​H1​+61​(HB​−HA​−H2​−H3​) （当两次测量误差不同时，单位权取值参考结论https://blog.csdn.net/runtuandme/article/details/111866037#comments_14909815）

此时计算 σ ‾ 1 = 5 3 \overline{\sigma}_1=\sqrt{\frac{5}{3}} σ1​=35​ ​mm。再由误差传播定律可得到 σ P 1 = σ ‾ 1 2 = 5 3 \sigma_{P_1}=\sqrt{\overline{\sigma}_1^2}=\sqrt{\frac{5}{3}} σP1​​=σ12​ ​=35​ ​mm

这个答案是正确的。

对于第二问，我们也可以看作对 H P 1 H_{P_1} HP1​​的两次测量， H P 1 = H A + H 1 H_{P_1}=H_A+H_1 HP1​​=HA​+H1​ H P 1 = H B − H 2 − H 3 H_{P_1}=H_B-H_2-H_3 HP1​​=HB​−H2​−H3​ 再分别计算中误差，计算权，同样得到 5 3 \sqrt{\frac{5}{3}} 35​ ​mm的结果。

第(1)问的计算方法是错误的，答案正确属于巧合。按权重“分配误差改正值”可行，但不可按权重“分配误差精度”，精度不与权重成比例，应该按照误差传播定律严格计算。