详解参考：奇异值分解（SVD）方法求解最小二乘问题的原理

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

A x = λ x Ax=λx Ax=λx 其中A是一个n×n的实对称矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值 λ 1 ≤ λ 2 ≤ . . . ≤ λ n λ_1≤λ_2≤...≤λ_n λ1​≤λ2​≤...≤λn​,以及这n个特征值所对应的特征向量 w 1 , w 2 , . . . , w n w_1,w_2,...,w_n w1​,w2​,...,wn​，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

A = W Σ W − 1 A=WΣW^{−1} A=WΣW−1 其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。 一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足 ∣ ∣ w i ∣ ∣ 2 = 1 ||w_i||^2=1 ∣∣wi​∣∣2=1, 或者说 w i T w i = 1 w^T_iw_i=1 wiT​wi​=1，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足 W T W = I W^TW=I WTW=I，即 W T = W − 1 W^T=W^{−1} WT=W−1, 也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成 A = W Σ W T A=WΣW^T A=WΣWT 注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为： A = U Σ V T A=UΣV^T A=UΣVT 其中U是一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足 U T U = I , V T V = I U^TU=I,V^TV=I UTU=I,VTV=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵 A T A A^TA ATA。既然 A T A A^TA ATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式： ( A T A ) v i = λ i v i (A^TA)v_i=λ_iv_i (ATA)vi​=λi​vi​ 这样我们就可以得到矩阵 A T A A^TA ATA的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将 A T A A^TA ATA的所有特征向量张成一个 n × n n×n n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵 A A T AA^T AAT。既然 A A T AA^T AAT是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式： ( A A T ) u i = λ i u i (AA^T)u_i=λ_iu_i (AAT)ui​=λi​ui​ 这样我们就可以得到矩阵 A A T AA^T AAT的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将 A A T AA^T AAT的所有特征向量张成一个 m × m m×m m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

我们注意到: A = U Σ V T ⇒ A V = U Σ V T V ⇒ A V = U Σ ⇒ A v i = σ i u i ⇒ σ i = A v i / u i A=UΣV^T⇒AV=UΣV^TV⇒AV=UΣ⇒Av_i=σ_iu_i⇒σ_i=Av_i/u_i A=UΣVT⇒AV=UΣVTV⇒AV=UΣ⇒Avi​=σi​ui​⇒σi​=Avi​/ui​

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 A T A A^TA ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而 A A T AA^T AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。 A = U Σ V T ⇒ A T = V Σ T U T ⇒ A T A = V Σ T U T U Σ V T = V Σ 2 V T A=UΣV^T⇒A^T=VΣ^TU^T⇒A^TA=VΣ^TU^TUΣV^T=VΣ^2V^T A=UΣVT⇒AT=VΣTUT⇒ATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VT 上式证明使用了: U T U = I , Σ T Σ = Σ 2 U^TU=I,Σ^TΣ=Σ^2 UTU=I,ΣTΣ=Σ2。 可以看出 A T A A^TA ATA的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到 A A T AA^T AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。 进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系： σ i = √ λ i σi=√λ_i σi=√λi​ 这样也就是说，我们可以不用 σ i = A v i / u i = σi=Av_i/u_i= σi=Avi​/ui​=来计算奇异值，也可以通过求出 A T A A^TA ATA的特征值取平方根来求奇异值。

上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。 也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

A m × n = U m × m Σ m × n V n × n T ≈ U m × k Σ k × k V k × n T A_{m×n}=U_{m×m}Σ_{m×n}V^T_{n×n}≈U_{m×k}Σ_{k×k}V^T_{k×n} Am×n​=Um×m​Σm×n​Vn×nT​≈Um×k​Σk×k​Vk×nT​ 其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 U m × k , Σ k × k , V k × n T U_{m×k},Σ_{k×k},V^T_{k×n} Um×k​,Σk×k​,Vk×nT​来表示。

如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

SVD分解及线性最小二乘问题

m i n ∥ A x − b ∥ 2 ， A ∈ R m ∗ n ， x ∈ R n ， b ∈ R m min∥Ax−b∥^2 ，A∈{R^{m∗}}^n ，x∈R^n ， b∈R^m min∥Ax−b∥2，A∈Rm∗n，x∈Rn，b∈Rm

m个方程求解n个未知数，有三种情况：

齐次方程组（超定方程组）的最小二乘解，及利用其拟合空间平面

特殊情况：齐次线性方程Ax=0 A的行数大于列数

这时实际上是没有真正的非零解析解的，因为约束太多了，没法都满足(零向量除外)。但是可以折中一下，每一个方程都满足个大概，这就要求最小二乘解。 求取最小二乘解的方法一般使用SVD，即奇异值分解。

理论推导部分 齐次方程组形如： A x = 0 Ax=0 Ax=0。 在一些优化，拟合等问题中经常出现，我们常考虑方程多于未知数元数的情况------超定方程组。

首先对于平凡解x=0我们一般不感兴趣，一般我们会寻求方程组的非零解。

如果x是方程组的一个解，那么对于 V k ∈ R Vk\in R Vk∈R, k x kx kx也是齐次方程组的解，一个合理的假设是只求满足 ∥ x ∥ = 1 \left \| x \right \|=1 ∥x∥=1的解。

假设A的维数是 m × n m×n m×n，一般的 m > n m>n m>n(超定)，那么方程组存在精确解的条件是rank(A)即矩阵A列不满秩。当没有精确解的时候（rank(A) = n, A列满秩），我们通常求其最小二乘解，描述为：

求使||Ax||最小化并满足||x||=1的x

先介绍一个引理，即对于一个酉阵或半酉阵 p ( P T P = I ) p(P^{^{T}}P = I) p(PTP=I)和一个向量x(向量维数等于P列数)，有：

∥ x ∥ 2 = x T x = x T ( p T p ) ) x = ∥ p x ∥ 2 \left \| x \right \|_{2}=\sqrt{x^{T}x}=\sqrt{x^{T}(p^{T}p))x}=\left \| px \right \|_{2} ∥x∥2​=xTx ​=xT(pTp))x ​=∥px∥2​

将A进行奇异值分解，令：

A = U D V T A=UDV^{^{T}} A=UDVT

其中U和V为半酉阵，分别满足

U T U = I , V V T = I U^{T}U= I, VV^{T}=I UTU=I,VVT=I

则：

∥ A x ∥ = ∥ U D V T x ∥ = ∥ D V T x ∥ \left \| Ax \right \|=\left \| UDV^{T}x \right \|=\left \| DV^{T}x \right \| ∥Ax∥=∥∥​UDVTx∥∥​=∥∥​DVTx∥∥​

另，若令:

y = V T x y=V^{T}x y=VTx

则问题等效成求使||Dy||最小化并满足||y||=1的y

需要说明的是对于当前问题，A列满秩，则D是对角阵，V是酉阵(方阵)

在奇异值分解中D的对角线元素是递减排列的，那么只需去取y=(0,0,…0,1)，则;

∥ A x ∥ = ∥ D y ∥ = σ n ， σ n \left \|Ax \right \|=\left \| Dy \right \|=\sigma _{n}，\sigma _{n} ∥Ax∥=∥Dy∥=σn​，σn​是A最小的奇异值

此时：

x = V y x=Vy x=Vy

即x为V矩阵的最后一列，在此题背景下x为 A T A A^TA ATA的最小特征值对应的单位特征向量。

具体内容看这里：奇异值分解(SVD) — 几何意义 以下只做简单总结

M = U Σ V T = u 1 σ 1 v 1 T + u 2 σ 2 v 2 T M = UΣV^T= u_1σ_1 v_1^T + u_2σ_2 v_2^T M=UΣVT=u1​σ1​v1T​+u2​σ2​v2T​ U U U 矩阵的列向量分别是 u 1 , u 2 u_1,u_2 u1​,u2​， Σ Σ Σ 是一个对角矩阵，对角元素分别是对应的 σ 1 σ1 σ1 和 σ 2 σ2 σ2， V V V 矩阵的列向量分别是 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1​,v2​。上角标 T T T 表示矩阵 V V V 的转置。

这就表明任意的矩阵 M M M 是可以分解成三个矩阵。 V V V 表示了原始域的标准正交基， u u u 表示经过 M M M 变换后的co-domain的标准正交基， Σ Σ Σ 表示了 V V V 中的向量与 u u u 中相对应向量之间的关系。

应用实例(Another example)

矩阵M的秩的大小等于矩阵M经过奇异值分解后非零奇异值的个数。

对图像像素矩阵SVD分解可以对图像减噪(noise reduction)

对采集的数据进行SVD分解可以保留主要样本