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 一、知识依据 1．线段公理：两点之间，线段最短；2．对称的性质：①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形的三边关系：①三角形两边之和大于第三边；②三角形两边之差小于第三边。4.垂直线段最短。二、从“将军饮马”说起 话说在古罗马时代，在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧B地开会，应该怎样走才能使路程最近？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。这个问题的解决并不难，据说海伦略作思考就解决了它。为了解决“将军饮马”问题，我们先看下面的问题。（一）点A、B在直线m的异侧，在直线m上，求一点P，使PA+PB最小由两点之间线段最短知，由A到B走直线距离最短，所以连接AB与直线m交于点P，此时PA+PB最小。我们选取除P之外的任意一点P’，由三角形的三边关系可以证明。 综上，我们可知点A、B在直线m异侧时，连接AB与直线m交于点P，即为所求。搞清楚上面这个问题后，我们再来研究“将军饮马”问题就简单了。 （二）点A、B在直线m的同侧，在直线m上，求一点P，使PA+PB最小作图步骤：①作点A关于直线m的对称点A, ②连接BA,，与直线L相交于点P ③此时PA+PB最小。 看到这个问题后，我们会怎么思考呢？结合上面的问题及解答思路，我们会想到将直线m同侧的两个点转化到直线m异侧，那么问题就迎刃而解了。所以，我们作A关于直线m的对称点A’（做B的对称点也一样），则将同侧的两点A、B转化到了异侧两点A’、B。此时，连接A’B与直线m交于点P，即为所求。综上，我们可知“将军饮马”问题转化为对称点，则问题就轻松解决了。三、“将军饮马”的拓展延伸 总结“将军饮马”问题，我们发现是两个顶点及定直线上的一个动点问题，那么接下来我们将刚才的问题进行升级。问题：两个定点A、B，两条定直线m、n，在直线m、n上分别找点P、Q，使PA+PQ+QB最小（一）两个定点A、B在两条定直线m、n的外侧 作图步骤：①连接AB分别与直线m与直线n交于点P、Q； ②此时PA+PQ+QB最小。 由两点之间线段最短知，连接AB与直线m、n分别交于点P、Q，即为所求。由右图也可证明线段长度小于折线段的长度。（二）两定点A、B，一个在两直线m、n外侧，一个在两直线m、n内侧 作图步骤：①作点B关于直线n的对称点B,； ②连接AB,，分别与直线m与直线n交于点P、Q； ③此时PA+PQ+QB最小。 由（一）的解题思路可知，只需将B点转化到直线外侧即可，问题就解决了。 （三）两定点A、B都在两直线m、n内侧 作图步骤：①作点B关于直线n的对称点B,； ②作点A关于直线m的对称点A,； ③连接A,B,，分别与直线m与直线n交于点P、Q； ④此时PA+PQ+QB最小。 由（一）、（二）的解题思路可知，同时将A、B两点转化到直线外侧即可，问题就解决了。综合以上所讲，我们应该学会了如何解决将军“饮马问题”，并且学会了如何作辅助线。那么在几何综合应用中，我们需要学会从一个复杂的几何图形中将“将军饮马”相关问题简化出来，然后用对称的相关知识进行解题。接下来我们看一下“台球两次碰壁模型”四、“台球两次碰壁”模型 “台球两次碰壁”模型为“两定点在两定直线内侧”的升级版本，让我们求三角形或四边形的周长最小值。变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.作图步骤：①作点B关于直线m的对称点B,； ②作点A关于直线n的对称点A,； ③连接A,B,，分别与直线m与直线n交于点E、D； ④此时四边形ADEB周长最短。 变式二：已知点A位于直线m，n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q，使PA+PQ+QA周长最短. 作图步骤：①作点A关于直线n的对称点A,； ②作点A关于直线m的对称点A，，； ③连接A,A,，，分别与直线m与直线n交于点P、Q； ④此时三角形APQ周长最短。 以上两个变式练习，根据“将军饮马”问题拓展延伸的解题思路及辅助线作法进行类比，可以用对称点知识很好的进行解决。下面我们看一下变式三：当两定点分别恰在两定直线上时的情况。变式三：已知点A位于直线n上，定点B位于直线m上, 在直线m、n分别上求点P、Q，使PA+PQ+QB最短. 作图步骤：①作点B关于直线n的对称点B,； ②作点A关于直线m的对称点A,； ③连接A,B,，分别与直线m与直线n交于点P、Q； ④此时PA+PQ+QB最短。 五、垂线段最短 我们知道，直线外一点到直线的距离垂线段最短。如若将直线变为两条，动点变成2个呢？问题1：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（一）点A、B在直线m异侧作图步骤：①过点A作线段AB⊥直线n于点P，交直线m于点P； ②此时PA+PB最小。 （二）点A、B在直线m同侧 作图步骤：①作点A关于直线m的对称点A,； ②过点A,作线段AB⊥直线n于点P，交直线m于点P； ③此时PA+PB最小。 由上面所讲可知，只需将A、B转化为直线m的异侧即可。根据上面两个图，我们总结得知动点B在直线上运动，那么当动点B在圆上运动，又会怎样呢？问题2：点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小 （一）点与圆在直线两侧： 作图步骤：①连接AO分别与直线m和⊙O交于点P和点B； ②此时PA+PB最小。 （二）点与圆在直线同侧： 作图步骤：①作点A关于直线m的对称点A,； ②连接A，O分别与直线m和⊙O交于点P和点B； ③此时PA+PB最小。 六、求两线段差的最大值问题 已知两定点A、B和一定直线m，在直线m上求一点P，使PA与PB的差最大； （一）点A、B在直线m同侧： 作图步骤：①延长AB与直线m交于点P； ②此时PA-PB最大为AB。 （二）点A、B在直线m异侧： 作图步骤：①作点B关于直线m的对称点B,； ②连接AB,与直线m交于点P； ③此时PA-PB最大为AB,。 七、两定点与定直线上的一条动线段问题 已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解) （一）点A、B在直线m两侧： 作图步骤：①作AC平行直线m且等于线段PQ； ②连接BC与直线m交于点Q，根据定长作出P点； ③此时PA+PQ+QB最小。 （二）点A、B在直线m同侧： 作图步骤：①作AE平行直线m且等于线段PQ； ②作点B关于直线m的对称点B,； ③连接B,E与直线m交于点Q，根据定长作出P点； ④此时PA+PQ+QB最小。 八、造桥问题 （一）一条河，一座桥 已知：A、B两地在一条河的两岸，现在需要在河上造一座桥MM（假定河的两岸是平行的，桥MN与河岸是垂直的），使得从A-B所走路径最短。 作图步骤：①作AA,平行且等于线段MN； ②连接A,B与B侧河岸交于点N，作NM垂直另一河岸于点M，即为所求； ③此时A-B所走路径最短 （二）两条河（平行），两座桥 已知：A、B两地在两条河的两岸，现在需要在两条河上分别造桥MM、桥PQ（假定河的两岸是平行的，桥MN、PQ与河岸是垂直的），使得从A-B所走路径最短。作图步骤：①作AA,平行且等于线段MN，作BB,平行且等于线段PQ； ②连接A,B,与两河岸分别交于点N、Q，作NM垂直另一河岸于点M，作QP垂直另一河岸于点P，即为所求； ③此时A-B所走路径最短 （三）两条河（不平行），两座桥 已知：A、B两地在两条河的两岸，现在需要在两条河上分别造桥MM、桥PQ（假定河的两岸是不平行的，桥MN、PQ与河岸是垂直的），使得从A-B所走路径最短。作图步骤： ①作AA,平行且等于线段MN，作A，A,，平行且等于线段PQ； ②连接A,，B与河岸交于点Q，作QP垂直另一河岸于点P，连接PA，与河岸交于点N，作NM垂直另一河岸于点M，即为所求； ③此时A-B所走路径最短为A-M-N-P-Q-B，最短路径长度为A,,B+MN+PQ； |
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