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****题二包括题目: P36页 5(1)(4)5(4) 包括题目:P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14;15(1)1(1)(2)的解如下3题的解如下5,6题14题解如下14. 设, 求点在处的牛顿方向。解:已知,由题意得∴∴∴15(1)解如下15. 用DFP方法求下列问题的极小点(1)解:取,时,DFP法的第一步与最速下降法相同, ,, 以下作第二次迭代, 其中, , 所以令, 利用,求得所以, 以下作第三次迭代 , , 所以令, 利用,求得所以, 因为,于是停止即为最优解。包括题目: P95页 3;4;8;9(1);12选做;13选做3题解如下,其中(1)画出此问题的可行域和等值线的图形;(2)利用几何图形求出此问题的最优解及最优值;(3)分别对点指出哪些约束是紧约束和松约束。解:(1)如图所示,此问题的可行域是以O点为圆心,1为半径的圆的上半部分;等值线是平行于直线x2=2x1的一系列平行线,范围在如图所示的两条虚线内。(2)要求f的最小值,即求出这一系列平行线中与x2轴相交,所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线1的位置,能取得极值。如图求出切点,此点即为最优解,解得最优值PO 1x1x2x2=2x1xp11/2虚线1(3)对于区间集S可以简化为g1:g2:对于点,g1和g2均为该点处的紧约束;对于点,g1和g2均为该点处的松约束;对于点,g1为该点的松约束,g2为该点的紧约束;对于点,g1为该点的紧约束,g2为该点的松约束。4题解如下-T条件,并利用所得到的表达式求出它们的最优解:(1). (2). (1)解:非线性规划的K-T条件如下: (1) (2) (3)再加上约束条件(4)为求出满足(1)~(4)式的解,分情况考虑: ①若(4)式等号不成立,即,那么由(2)式得,将代入(1)式解得,,所得值不满足的条件,故舍去。②若(4)式等号成立,由(1)式可以解得,,代入(4)式有: 解得因为,所以,那么,,满足以上所有条件。综上所述,所求非线性规划有唯一的K-T点为:(2)解:非线性规划的K-T条件如下: (1) (2) (3)再加上约束条件(4)为求出满足(1)~(4)式的解,分情况考虑: ①若(4)式等号不成立,即,那么由(2)式得,将代入(1)式解得,,所得值满足以上所有约束。②若(4)式等号成立,由(1)式可以解得,,代入(4)式有: 解得因为,所以所得值均舍去,该情况不成立。综上所述,所求非线性规划有唯一的K-T点为:8题解如下8 考虑问题 Min x12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3 . X1+x2+x3=2 (1) -x1+2x2≤3 (2) X1,x2,x3≥0 (3)求出点(1,1,0)处的一个下降可行方向.解:首先检查在点(1,1,0)处哪些约束为有效约束。检查易知(1),X3≥0为有效约束。设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向d的定义,应存在a>0,使对∀t∈(0,a)能有 X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T也能满足所有有效约束: (1+td1)+(1+td2)+(0+td3)=2 td3≥0 经整理即为 d1+d2+d3=0 d3≥0 满足上述不等式组的d=(d1,d2,d3)T均为可行方向。现只求一个可行方向,所以任取d3=1,求解d1+d2=-d3得d1+d2=-1,可任取d1=1,d2=-2得一可行方向 d=(1,-2,1)T考虑下降性由题可知:将目标函数化为f(x)=1/2XTQX+bTX+C从而▽f=QX+b即▽f(1,1,0)=(-3,3,-12)因为▽f(1,1,0)Td=-21 |