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曲面的切平面方程和法线方程公式

曲面是三维空间中的一个二维曲面，

可以用函数方程或参数方程

表示。在三维空间中，曲面与平面不同，它具有曲率和法线方向。曲

面的切平面和法线方程是研究曲面性质的重要工具，

在许多领域都有

广泛的应用。

一、曲面的切平面方程

曲面的切平面是曲面在某一点处与该点切线平行的平面。

在二维

平面上，

我们可以通过直线的斜率来确定该直线的切线方向。

在三维

空间中，曲面的切线方向可以通过曲面的偏导数来确定。

假设曲面的函数方程为

z=f(x,y)

，则其在点

(x0,y0,z0)

处的切

平面方程为：

    z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0) 

其中

fx

和

fy

分别表示函数

z=f(x,y)

在点

(x0,y0)

处的偏导数。

如果曲面的参数方程为：

    x=x(u,v)

，

y=y(u,v)

，

z=z(u,v) 

则其在点

(P0)

处的切平面方程可以表示为：

    r(u,v)=r(u0,v0)+r/u|P0(u-u0)+r/v|P0(v-v0) 

其中

r

表示曲面的参数方程，

r/u

和

r/v

分别表示曲面在点

P0

处的偏导数。

二、曲面的法线方程

曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，是曲面的一个重要性质。

对于一个点

P(x0,y0,z0)

，曲面的法线方程可以表示为：