《高等数学I（下）》课程教学大纲课程名称：高等数学I（下）

课程编号： 21901039

学分/学时：4学分/64学时

课程类型：公共基础课

考核方式：考试

开课学期：春季学期（大一第二学期）

开课单位：应用数学学院

先修课程：

后续课程：线性代数、概率论与数理统计

适用专业：理工类本科专业

一、课程性质与教学目标（明确专业毕业要求及指标点）

课程性质：《高等数学I（下）》是我校理工科非数学专业学生必修的重要基础理论课程，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。一方面，它为学生学习专业课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法；另一方面，教师通过各个教学环节，使用各种教学手段逐步培养学生，使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力。

教学目标：要求学生理解《高等数学I（下）》中的向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数；学会、掌握和熟练掌握上述各部分的基本方法。并注意各部分知识的结构及知识的内在联系；培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观能力和空间想象能力；从而使学生受到数学分析方法的初步训练，为学习后继课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础（对应毕业要求1），从而可以运用这些方法解决几何学、物理学和经济学中的实际问题，如：力矩的计算、重心、点的运动、图解和解析法设计盘形凸轮轮廓、剪力图与弯矩图、交变电流、梁的变形的计算等。

二、课程教学内容及学时分配（含实验、实践、自学、讨论等的内容及要求）

教学内容

学时

基本要求

毕业要求

第八章 空间解析几何与向量代数

1、向量的概念，向量的线形运算

2、向量的数量积，向量积

3、曲面及其方程，简单的二次曲面

4、空间曲线及其方程

5、平面及其方程，点到平面的距离

6、空间直线方程空间直线及其方程

14学时

基本要求：

（1） 理解空间直角坐标系；

（2） 理解矢量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件；

（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；

（4）掌握平面方程及和直线方程的求法。

（5）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形。了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；

（6）了解空间曲线的参数方程和一般方程；

重点：

向量的概念、向量的数量积、向量的向量积、平面的点法式方程、直线的对称式方程，

难点：

向量的向量积、平面的点法式方程、直线的对称式方程、二次曲面。

毕业要求2

第九章 多元函数微分法及其应用

1、多元函数的概念、极限与连续

2、偏导数

3、全微分

4、多元复合函数求导法则

5、隐函数求导公式

6、多元函数微分学的几何应用

7、方向导数与梯度

8、多元函数的极值及其求法

12学时

基本要求：

（1）理解多元函数的概念；

（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；

（3）理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性；

（4）掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数；

（5）会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数；

（6）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程；

（7）了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；

（8） 理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

重点：

多元函数的定义、偏导数与全微分、条件极值。

难点：

复合函数的偏导数、条件极值。

毕业要求2

第十章 重积分

1、二重积分的概念及其性质

2、二重积分的计算法，二重积分在几何学中的应用，二重积分在物理学上应用举例

3、三重积分的概念及其性质，三重积分的计算法

4、三重积分的应用

10学时

基本要求：

（1）理解二重积分、三重积分的概念，知道重积分的性质；

（2）熟练掌握二重积分的计算方法(包括直角坐标与极坐标)；

（3）了解三重积分的的计算方法(包括直角坐标、柱面坐标与球面坐标)；

（4）会用重积分表达一些几何量与物理量(如：平面与曲面的面积、体积、质量、重心、转动惯量等)。

重点：

二重积分的概念、二重积分的计算法、三重积分的计算法。

难点：

二重积分的计算、三重积分的计算。

毕业要求2

第十一章 曲线积分与曲面积分

1、对弧长的曲线积分

2、对坐标的曲线积分

3、格林公式及应用

4、对面积的曲面积分

5、对坐标的曲面积分

6、高斯公式

7、斯托克斯公式

12学时

基本要求：

（1）理解两类曲线积分的概念、性质，掌握两类曲线积分的计算方法；

（2）掌握格林公式(Green)，会运用平面曲线积分与路径无关的条件；

（3）理解两类曲面积分的概念，并会计算两类曲面积分；

（4）掌握高斯(Gauss)公式；

（5）了解斯托克斯（Stokes）公式。了解数量场、向量场及向量微分算子的概念，了解散度、旋度的概念，会计算散度与旋度。

（6）了解曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量（如弧长、面积、功、通量、重心、引力等）

重点：

曲线积分的概念及其性质、曲线积分的计算法、曲面积分的概念及其性质、曲面积分的计算法、平面曲线积分与二重积分的关系（格林公式）、平面曲线积分与路径无关的条件、曲面积分与三重积分的关系（高斯公式）。

难点：

曲线积分的计算法、曲面积分的计算法、平面曲线积分与路径无关的条件。

毕业要求2

第十二章 无穷级数

1、数项级数的概念、级数的收敛与发散、级数的基本性质、收敛的必要条件

2、正项级数敛散性的判别法

3、任意项级数，幂级数的概念：收敛半径、收敛区间、收敛域

4、幂级数求和

5、将简单的初等函数展开为幂级数。

16学时

基本要求：

（1）理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数收敛的必要条件，知道无穷级数的基本性质。掌握几何级数和

级数的收敛性。

（2）掌握正项级数的敛散性的比较判别法及比值判别法，会用根值判别法。（3）掌握交错级数的莱布尼兹定理。条件收敛的概念，及绝对收敛与条件收敛的关系。知道函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握简单幂级数的收敛域的求法，知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

（4）了解函数展开为泰勒级数的充要条件。掌握

、

、

、

和

的麦克劳林(Maclaurin)展开式，并能用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数。会用幂级数进行一些近似计算。

重点：

数项级数的概念、正项级数敛散性的判别法、几何级数

、调和级数

和

级数

的敛散性、任意项级数，莱布尼兹判别法、幂级数的概念、收敛半径、简单的初等函数展开为幂级数。

难点：

正项级数敛散性的判别法、幂级数的收敛半径、初等函数展开为幂级数。

毕业要求2

三、教学方法

《高等数学》作为理工科院校的一门重要的基础课程，直接培养学生的创新思维能力，它还要为学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法，课堂教学以课堂讲授为主，使用多媒体、板书，结合作业、小测、答疑等方式共同实施，注重过程启发式教学法，调动学生的学习积极性，变被动接受知识为主动学习，提高学生的学习效率，增强学生的学习兴趣。在教学中加强习题课的教学，使学生在掌握相应的数学能力的同时，形成创新和应用技能，注意植入一些专业知识，既保证课程的趣味性，又保证课程的实用性。高等数学是理论性较强的学科，大部分学生会感到枯燥乏味。所以在分层次，分专业教学的基础上，引入数学模型，增强数学的应用性，可以引起学生的兴趣和求知欲。例如，对于经济类专业，选编新产品的市场预测、征税问题、房贷问题、存储费用优化、广告费用问题等模型；对于机械类专业，选编汽车刹车距离、飞机的定位问题、双层玻璃窗的功效等模型。

四、考核及成绩评定

1

作业、讨论及课堂表现

20%

2

期中考试

20%

3

期末考试

60%

总计

100%

评分规则：

1）作业：每次作业应在规定时间上交，迟交作业或作业不满足下列要求均按零分计算，每次作业按百分制评分，总评后折算成10分，下表为作业的评分规则。

完成情况

得分

严格按照作业要求并及时完成，基本概念清晰，解决问题的方案正确、合理，计算准确，图面正确，书写规范

90-100分

按照作业要求并及时完成，基本概念较清晰，解决问题的方案较正确，图面及书写较规范

75-90分

基本按照作业要求并及时完成，基本概念基本清晰，解决问题的方案基本正确、基本合理，图面及书写基本规范

60-75分

不能按作业要求，未及时完成作业，基本概念不清楚，不能制定正确解决问题的方案，图面马虎、字迹潦草，或者发现抄袭

60分以下

2）讨论及课堂表现：讨论是指课堂教学中工程实例讨论、知识点讨论、作业讨论等，课堂表现是指课堂到课情况，按百分制评分，总评后折算成10分，下表为评分规则。

完成情况

得分

无旷课迟到早退现象，专心上课；积极参与讨论，能清楚地阐明自己的观点和想法，能积极与同学、老师交流互动

90-100分

无旷课迟到早退现象，上课较专心；较积极地参与讨论，能较清楚地阐明自己的观点和想法，能与同学、老师交流互动

75-90分

有旷课迟到早退现象1-2次；参与讨论的积极性一般，阐明自己的观点和想法能力一般

60-75分

有旷课迟到早退现象3次以上，上课不专心；不参与讨论，不能与同学、老师交流互动

60分以下

3）期中考试：按期中考试试卷标准或参考答案、评分标准百分制评分，总评后折算成20分。

4）期末考试：按期末考试试卷标准或参考答案、评分标准百分制评分，总评后折算成60分。

五、教材及参考书目

教 材：《高等数学》（第六版），同济大学应用数学系主编，高等教育出版社

参考书：（1）《高等数学》，杨海涛主编，同济大学出版社

（2）《微积分》，范培华主编，中国商业出版社

（3）《高等数学》上、下册，盛祥耀编，高等教育出版社

（4）《高等数学》，华东师范大学数学系主编，高等教育出版社

拟稿（签名）： 年 月 日

核稿（签名）： 年 月 日

审批（签名）： 年 月 日