【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019） \({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)

选择性必修第一册同步巩固，难度2颗星！

平面内与两个定点 \(F_1\)，\(F_2\)的距离之差的绝对值等于常数(小于\(F_1 F_2\))的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，\(P\)是双曲线上一点，\(|PF_1-PF_2 |=2a0)\)； 焦点在\(y\)轴上的双曲线方程为 \(\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1(a>0, \quad b>0)\). 解释   (1) 双曲线标准方程的证明 双曲线具有对称性，以经过双曲线两焦点的直线为x轴，线段\(F_1 F_2\)的中垂线为\(y\)轴，建立平面直角坐标系，

设\(P(x,y)\)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为\(2c(c>0)\)，那么焦点\(F_1 (-c,0)\)，\(F_2 (c,0)\)，根据双曲线定义可得\(|PF_1-PF_2 |=2a\)，则 \(\sqrt{\mid(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2} \mid=2 a\)， 化简得\((c^2-a^2 ) x^2-a^2 y^2=a^2 (c^2-a^2 )\)， 两边同除以\(a^2 (c^2-a^2 )\)得 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{c^2-a^2}=1\)， 即动点\(P\)的轨迹双曲线对应的方程是 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{c^2-a^2}=1\). 由双曲线定义可知\(2c>2a>0\)，即\(c>a>0\)，所以\(c^2-a^2>0\). 令\(b^2=c^2-a^2\)，则我们称 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, \quad b>0)\)为双曲线的标准方程. (焦点在\(y\)轴上的双曲线类似证明)  

【例】点\(P\)到两定点\(F_1 (-2,0)\)，\(F_2 (2,0)\)的距离之差为\(2\)，求动点\(P\)轨迹方程. 解析 由双曲线的定义可知，动点\(P\)的轨迹是双曲线的右支，且\(2a=2\)，\(c=2\)， 即\(a^2=1\)，\(b^2=c^2-a^2=3\)，则动点\(P\)轨迹方程为 \(x^2-\dfrac{y^2}{3}=1(x>0)\). (2) 对于方程 \(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1\)， 当\(mn0\),\(n0\),\(m0, b>0)\)的焦点，点\(P\)在双曲线上，且与\(F_1\)、\(F_2\)不共线，则三角形\(∆F_1 PF_2\)叫做焦点三角形.

在题目出现焦点三角形\(∆F_1 PF_2\)，可想到双曲线定义\(|PF_1-PF_2 |=2a\)和解三角形的相关知识.  

【典题1】 若点\(F_1 (-c,0)\)，\(F_2 (c,0)\)(\(c>0\)且为常数)为两个不同的定点，且动点\(M\)满足\(|MF_1 |-|MF_2 |=2a\)(\(2a≥0\)且\(a\)为常数)．求动点\(M\)的轨迹． 解析 若\(2a>2c>0\)，则点\(M\)的轨迹不存在． 若\(2a=2c>0\)，则点\(M\)的轨迹是以点\(F_2\)为端点，且与\(x\)轴正方向同向的射线，方程为\(y=0(x≥c)\)． 若\(00)\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{32}{a^2}-\dfrac{9}{b^2}=1 \\ \dfrac{25}{a^2}-\dfrac{81}{16 b^2}=1 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} a^2=16 \\ b^2=9 \end{array}\right.\)， \(∴\)双曲线的方程为 \(\dfrac{y^2}{16}-\dfrac{x^2}{9}=1\)． (2) 设所求双曲线方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)\)， 则 \(2 a=\sqrt{(2 \sqrt{5}+\sqrt{5})^2+2^2}-\sqrt{(2 \sqrt{5}-\sqrt{5})^2+2^2}=7-3=4\)， \(∴a=2\)，又 \(c=\sqrt{5}\)，\(∴b^2=c^2-a^2=1\)， \(∴\)双曲线的方程为 \(\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\)． (3)方法1 设双曲线方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)， 由题意知 \(c=2 \sqrt{5}\)， \(\therefore a^2+b^2=(2 \sqrt{5})^2=20\)， \(∵\)双曲线过点 \((3 \sqrt{2}, 2)\)， \(: \dfrac{18}{a^2}-\dfrac{4}{b^2}=1\)， \(∴a^2=12\),\(b^2=8\)， 故所求双曲线的方程为 \(\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}{8}=1\)． 方法2 设双曲线方程为 \(\dfrac{x^2}{16-k}-\dfrac{y^2}{4+k}=1(-40, b>0)\)的左、右焦点，点\(A\)、\(B\)分别在双曲线\(C\)的左、右支上，若 \(\overrightarrow{F_1 B}=6 F_1 A\)， \(\overrightarrow{A F}_2^2=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A F_2}\)，且 \(\left|\overrightarrow{A F_2}\right|b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1\) 、\(F_2\)，过\(F_1\)的直线\(l\)与双曲线左右两支交于\(M\)，\(N\)两点，以\(MN\)为直径的圆过\(F_2\)，且 \(\overrightarrow{M N}^2=2 \overrightarrow{M F_2} \cdot \overrightarrow{M N}\)，则 \(\dfrac{c}{a}=\) (　　)  A． \(\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad\) D． \(\sqrt{5}\)  

5.一动圆\(P\)过定点\(M(－4,0)\)，且与已知圆\(N：(x-4)^2+y^2=16\)相切，则动圆圆心\(P\)的轨迹方程是\(\underline{\quad \quad}\) .  

6.设椭圆\(C_1\)的离心率为 \(\dfrac{5}{13}\)，焦点在\(x\)轴上且长轴长为\(26\)，若曲线\(C_2\)上的点到椭圆\(C_1\)的两焦点的距离差的绝对值等于\(8\)，则曲线\(C_2\)的标准方程为\(\underline{\quad \quad}\) .  

7.如图所示，已知双曲线 \(C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)\)的右焦点为\(F\)，双曲线\(C\)的右支上一点\(A\)，它关于原点\(O\)的对称点为\(B\)，满足\(∠AFB=120^°\)，且\(|BF|=2|AF|\)，则 \(\dfrac{c}{a}=\) .  

8.在下列条件下求双曲线标准方程． (1) 经过两点 \((4, \sqrt{3})\)、 \(\left(3, \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)\)； (2) \(a=2 \sqrt{5}\)，经过点\((2,-5)\)，焦点在\(y\)轴上．    

. 参考答案

1. 答案 \(B\) 解析 当\(a=3\)时，\(|PF_1 |-|PF_2 |=60\)， \(∴(k+1)(k-1)