曲率半径推导

曲率半径是描述曲线圆弧程度的重要概念，它揭示了曲线在一定

点附近的弯曲程度和方向。在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，

本文将围绕曲率半径推导进行阐述。

一、曲率概念

曲率是描述曲线附近的局部弯曲程度的量。对于曲线上任意一点

处的曲率，其计算公式如下：

K = |dθ/ds|

其中，

K

表示曲率，θ

表示曲线在该点处的方向角度，

ds

表示曲

线在该点处的弧长。

尤其当曲线处于二维平面上时，我们可以把曲率表示为以下形式：

K = |(xdy-ydx)/((x^2+y^2)^1.5)| 

其中，

x

、

y

分别表示曲线在该点处的横向、纵向偏移量。

二、曲率半径的定义与推导

曲率半径也叫曲率圆半径，是指曲线在某一点处切线所在的圆的

半径。我们可以通过以下公式来计算曲率半径：

R = 1/K 

其中，

R

表示曲率半径。

接下来，我们来推导这个公式。考虑曲线上一点

P(x0,y0)

，假设

其曲率半径为

R

，圆心为

O(xc,yc)

，则有以下关系：

|PO| = R 

但是，我们很难直接求出曲率

K

。这时候，我们可以借助极限和

微积分知识，使用以下公式来近似计算曲率：

K = lim (Δθ/Δs) = lim ((θ2

-

θ1)/(s2

-s1))  

其中，Δθ

表示

θ2

-

θ1，Δs

表示

s2-s1

。当

Δs

趋近于

0

时，

极限值就是连续曲线在该点处的曲率。

考虑

P

点处的两个相邻点

Q(x1,y1)

和

R(x2,y2)

。假设曲线在

P

点的切线方向角度为

θ，则有以下关系：