说起模式，光学中实在太多了：空间模式和时间模式、LP(lm)和TEM(mn)模式、单模和多模、横模和纵模、导模和漏模、基模和高阶模、包层模和共振腔模、厄密高斯模和拉盖尔高斯模…… 如果加上修饰语就更数不胜数，光子晶体光纤的无截止单模、卷绕光纤用于滤模、单频激光器的跳模、超短脉冲激光器的锁模。

但光学模式究竟是什么呢？不同语境下的不同模式之间是否存在微妙的关联呢？关于模式的定义，有人说：

正如上述讨论中有人说，光学模式是一个基础却令人困惑的概念。我们通过抽象的定义并不容易理解其内含，真正理解这些概念可能需要更全面而坚实的理论基础。因此我们决定将话题范围缩小，仅从激光原理中摘选一些应用实例，以解题模式窥视激光的横模和纵模。

1. 谐振腔中的纵模数

对于Nd:YAG有源介质，折射率n=1.82，线宽Δν(YAG)=120 GHz。

a) 假设谐振腔长L=50 cm，采用长度l=10 cm的激光棒。计算处于FWHM增益线宽范围的纵模数。

b) 假设直接将端面镜镀在有源材料表面构造谐振腔(微片激光器)。如果只允许一个纵模振荡，有源材料厚度l的最大值是多少？

解答：

a) 谐振腔中纵模的频率间隔：

Δν = c / 2L'

其中L'是谐振腔的等效长度：

L' = L- l + nl= 58.2 cm

根据上面两式可算出Δν = 258.6 MHz

所以处于Nd:YAG增益线宽内的纵模数：

N = Δν(YAG) / Δν ≈ 464

b) 如果端面镜直接镀在激光棒表面(微片激光器)，

纵模间隔：Δν =c/2nl

为了实现单纵模工作，模式间隔需满足：

Δν = c / 2nl ≥ Δν(YAG)/2

在这种情况下，如果将某个模式调谐到与增益曲线中心重合，两个相邻的纵模距离中心足够远时，对于不是远高于阈值的激光器，它们就无法实现振荡。所以材料的最大厚度根据下式计算：

l ≤ c / n*Δν(YAG) = 1.4 mm

这个材料厚度很容易制备。

由于腔长很短(往返时间短)，微片激光器还很适合产生短脉冲。Thorlabs 皮秒微片激光器以9 kHz重频提供高能量、高质量脉冲光束，非常适合材料加工和谐波产生等应用。

2. 氦氖激光器的单模选择

一个氦氖激光器的振荡波长λ=633 nm，使用反射镜半径R=0.5 m的对称共焦谐振腔。假设在球面反射镜前用一个孔径光阑可使含有氦氖混合气体的毛细管形成孔径效应。若此氦氖激光器的单通功率增益是0.02，计算需要多大的光阑半径才能抑制TEM01模。

解答：为了满足共焦条件，谐振腔长L=R=0.5 m

它的两个参数g1=g2=0

为了抑制TEM01模，这个模式在反射镜孔径上的单通损耗必须高于0.01。根据右上图，TEM01模在1%损耗下对应的菲涅尔数N=a²/Lλ≈1

由此可算出光阑半径：

a≈0.562 mm

此时TEM00模的衍射损耗远低于TEM01模。

3. 非均匀展宽激光器的单纵模振荡

低压CO2激光器的线宽(Δν=50 MHz)主要由多普勒展宽确立。激光器以阈值两倍的泵浦功率工作。假设某个模式和跃迁峰重合并且所有模式具有相同的损耗，计算能实现单纵模工作的最大反射镜间距。

解答：由于CO2激光跃迁主要通过多普勒效应展宽，具有高斯增益曲线形状，FWHM线宽Δν=50 MHz，当激光器以阈值两倍的泵浦功率工作时，偏离增益曲线中心小于Δν/2的所有腔模都高于阈值，因此能形成振荡。

如果某个共振模式和跃迁峰值重合，对于到中心模式的距离为±c/2L的两个边带，它们到增益曲线峰值的距离必须超过Δν/2，这样才能实现单纵模工作。也就是说，

c/2L ≥ Δν/2

L ≤ c/Δν=6 m

因此最大的反射镜间距为6 m。

4. 主动锁模Nd:YAG激光器的脉宽计算

5. 多模光束的传播参数计算

假设Nd:YAG激光器(λ=1.06 μm)输出5 W多模光束。现在使激光打在距离束腰为10 m的目标上。假设近场强度轮廓是FWHM直径D=5 mm的高斯形状，并且M²因子取40。请计算目标位置处的多模光斑半径和波前曲率半径。解答：对于高斯强度轮廓：

其光斑尺寸W0和FWHM直径D满足关系：

由此算出内嵌的同波长高斯光束腰：

再计算相应的瑞利距离：

高斯光束打在目标位置(l=10 m)处的光斑半径和曲率半径：

多模光束的波前曲率半径与其嵌入的高斯光束的数值相同，但光斑半径则通过M²因子换算：

6. 锁模光梳：载波包络偏移频率的测量

1996年，Ferenc Krausz等人发现，连续波锁模激光器无法输出相同的脉冲，不管每个纵模的相位锁定得多么完美，也不管频率间距如何相等。这是因为激光谐振腔内色散元件中的群速度和相速度(分别决定脉冲包络和载波的传播速度)略有不同。

如上图所示，脉冲每次在腔内往返后，载波包络(CE)相位都会产生一定偏移(Δφ)：

其中 R为往返相位延迟(取决于相速度)，ωL为载波角频率，TR为激光脉冲的往返时间(取决于群速度)。这种准周期脉冲串的傅里叶变换频谱为一系列等距谱线，每条谱线的频率由下式给出：

这个公式将一个光学频率(ωn)和两个射频(ωr和ω0)联系在一起。式中n是一个高达百万的整数，而ωr= 2π/TR为往返频率，可直接用光电二极管测量。所以测量光学频率的关键在于另一个射频：偏移频率ω0。

ω0和Δφ的简单关系如下：

因此，控制和稳定CE相位可通过控制偏移频率进行，为此可使用Hänsch发明的自参考技术测量。对于跨倍频程的锁模频谱，其低频端倍频后与高频端干涉，刚好在2(nωr + ω0) - (2nωr + ω0) = ω0处得到所需强度调制的拍频信号，使用光电二极管就可将其测出。知道偏移频率后就能知道频率梳每一条谱线的频率。这就像一把光学尺子，测量未知激光时只需找到最近的梳线进行比对即可。

来源：Thorlabs索雷博