单变量微积分笔记6 |
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线性近似
假设一般函数上存在点(x0, f(x0)),当x接近基点x0时,可以使用函数在x0点的切线作为函数的近似线。函数f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x- x0)即称为函数f在x0点的线性近似或切线近似。 f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x- x0) 公式来源导数的定义: 左右两边同时乘以x-x0,并去掉极限符号:
在x≈x0=0时 几何意义 线性近似求解的是近似值,其几何意义是在基点的切线近似于原函数的曲线。 以f(x)=lnx为例,根据公式,在x0=1,lnx≈x-1,曲线和切线如下图所示: 在x0=1点附近,曲线近似于直线,x越接近x0,二者的近似度越高。在讨论近似时,只有指定基点才有意义。这很容易理解,x越远离x0,曲线和直线的差距越大;同时,当基点不同时,切线的斜率也不同。 常用线性近似x0=0 以下是上述线性近似的几何意义: sinx≈x
cosx≈1 ex≈x+1 ln(x+1)≈x (1+x)n≈1+nx,n=2 化繁为简例1:ln(1.1) = ? 这需要计算器了,但实际工作中往往只需要寻找近似值。 如果设x=0.1,则 ln(1.1) = ln(1+x),当x≈0时,ln(1+x) ≈ x,在此, 我们认为0.1接近于0,ln(1.1) = ln(1+x) ≈ x = 0.1 0.1是否接近于0,这是个及其主观的判断,要视具体问题而定。某些时候,0.1可能距离0很远,另一些时候,10也可能距离0很近。
例2:在x≈0时, 这不需要计算器,直接将代入x=0即可,结果为1。然而这种方法太过简陋,如果判断x=0.1≈0,就需要一个更精确的结果,不能直接将0代入。
还是使用线性近似的思路,首先需要把式子转换成我们认识的写法: 当x≈0时,根据公式f(x) ≈ f'(0)(x) + f(0),重点是计算f’(0): 对这个长长的式子求导非常麻烦,涉及到多个求导法则,我们希望用简单的方式求解。 对于本例来说,非常幸运,我们已经知道x≈0时 ex≈1+x,xn≈1+nx,代入本例: 当x≈0时,高阶函数3x2/2≈0,随着x→0,3x2/2更快地趋近于0,所以上式可舍弃高阶函数: 通过这两个例子可以看出线性近似的作用——化繁为简。等号左侧的式子是繁,比如ln1.1和,通过线性近似将其转化为简单的式子,0.1和1-7x/2 在转换过程中当然会损失一些精度,但绝大多数时候我们都无需得到精确的解,例如在x=0.0001的时候,原式的计算量相当大,化简后将极大地简化计算,而付出的代价相当少,几乎可以忽略;某些时候甚至根本无法得到精确解,比如无理数的计算。取而代之,我们求得可接受的近似解,通过近似解化繁为简。 化繁为简的思路也贯穿于整个数学,后续我们将看到,在求解复杂问题时,采取的方法几乎都是不断寻找近似、舍弃。 在利用计算机寻找最优解时,几个常用的算法是爬山法、模拟退火算法、遗传算法,这些算法都是采用化繁为简的思路,舍弃全局最优解,寻找可以接受的较好解,故每次得到的结果都会稍有偏差。 二阶近似 公式几何意义 二阶近似的几何意义是最接近原函数的抛物线,它比线性近似更为精确。 以f(x)=ln(1+x)为例,根据公式,在x0=0, 曲线如下: ln(1+x)≈x-x2/2 对比线性近似可以看出,二阶近似在基点附近更贴近原函数。 为什么会出现1/2为什么会出现1/2呢? 二级近似的几何意义是最接近曲线的抛物线,如果原曲线本身就是抛物线,则二阶近似就是原曲线本身。 原函数f(x) = a + bx + cx2 f’(x) = b + 2cx f’’(x) = 2c 当x = 0时, f(0) = a, f’(0) = b , f’’(0) = 2c 二阶近似 f(x) ≈ a + bx + 2cx2/2 = a + b + cx2 这就是出现1/2的原因,当然,仅当f(x) = a + bx + cx2时才能如此精确。 常用二阶近似x0=0 以下是上述线性近似的几何意义:
sinx≈x
cosx≈1-x2/2
ex≈1+x+x2/2
ln(1+x)≈x-x2/2 示例在x≈0时,e-3x(1+x)-1/2=? 根据ex≈1+x+x2/2 和 (1+x)n≈1+nx+n(n-1) x2/2 e-3x(1+x)-1/2≈(1-3x+(-3x/2)2)(1-x/2+(-1/2)(-3/2)x2/2) 舍弃3阶和4阶函数,e-3x(1+x)-1/2≈1-7x/2+51x2/8 总结出处:微信公众号 "我是8位的" 本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 扫描二维码关注作者公众号“我是8位的” |
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