线性代数(十四) : 逆映射与逆矩阵 |
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逆映射 矩阵与映射 零空间与列空间 1 单位矩阵与恒等映射一个单位矩阵E乘一个向量a 结果还是a 说明单位矩阵对应于一个恒等映射。 2 可逆矩阵与逆矩阵如果一个矩阵对应的映射是一个可逆映射(既是单射有事满射)那么这个矩阵是可逆矩阵, 矩阵A的逆矩阵记做:
(i)满射矩阵:如果一个mxn的矩阵A对应的映射是满射则说明方程组Ax=b无论b取何值都有解。 这说明矩阵的留空间张成整个m维空间,也就是说矩阵A是行满秩的,此时rank(A)=m (ii)单射矩阵:如果一个mxn的矩阵A对应的映射是单射则说明Ax=b如果有解那么一定是唯一的解。 这说明A的零空间只有零元素。也就是说A没有自由元。这对应A是列满秩的,此时rank(A)=n (iii)综上我们得到矩阵可逆的充分必要条件rank(A)=m=n。也就是说矩阵是满秩的方阵。 4 初等变换求逆矩阵(i)若矩阵A可逆我们可以同时对A和单位矩阵E做相同的初等变换,这样当我们把A变换成单位矩阵的时候这相当于:
这样单位矩阵E经过变换后就得到了矩阵A的逆矩阵。下边是一个具体的例子:
(ii)由上可知如果矩阵A可逆那么rref(A)就是单位矩阵,反之则说明A不可逆。
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