任何有界数列必定有收敛的子列.

证 设数列 { a n } \left\{a_{n}\right\} { an​} 有界, 由例 5 可知: { a n } \left\{a_{n}\right\} { an​} 存在单调且有界的子列 { a n 4 } \left\{a_{n_{4}}\right\} { an4​​}.再由单调有界定理,证得此子列是收敛的.

例 6 设数列 { a n } \left\{a_{n}\right\} { an​} 无上界, 则存在 { a n } \left\{a_{n}\right\} { an​}的子列 { a n k } , lim ⁡ k → ∞ a n k = + ∞ \left\{a_{n_{k}}\right\}, \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=+\infty { ank​​},k→∞lim​ank​