如何用无理数表示有理数?斐波那契数列的通项公式是怎么来的? #斐波那契数列# |
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斐波那契数列通项公式是一个用无理数表示有理数的一个典型例子。 自然中的斐波那契数列那么先撇开通项公式不说,斐波那契数列是什么?相信大家并不陌生。小学的奥数题会考斐波那契数列的“按规律填数”,而我们今天,要做的事比小学厉害多了——来试着推导出它的通项公式。什么是通项公式?通项公式就是表示一个数列第n项的值的公式。 首先来看一下斐波那契数列的定义。 斐波那契数列的定义斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 其中,第1,2项为1,从第三项起,每一项的值都是它前面两项的和。 即:1,1,1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,··· 如果我们把斐波那契数列的第n项记为an,那么我们可以把斐波那契数列的定义换成如下形式: 斐波那契数列的定义通项公式的推导我们可以用“待定系数法”来求得斐波那契数列的通项公式。 设有常数s、r,使得: 式1既然这两个常数s、r可以使得式1成立,并且斐波那契数列的前几个数我们是可以算的,那么我们完全可以把数列某几项的值给代入式1来求出s、r。 我们设a(n-2)=1,第一项的1,那么a(n-1)=1,an=2.把这三个等式代入式1,得: 式2我们再设a(n-2)=1,这次是第二项的1,那么a(n-1)=2,an=3.把这三个等式再次代入式1,得: 式3式2式3都是同时成立的,我们可以把它们联立起来,求出s、r的值。所以有: 方程组1把方程组1的括号拆开: 方程组2转化得: 方程组3方程组3是一个二元二次方程。我们可以看到左边都有sr,而右边都有(s+r),那么不妨通过两式的加减来求得sr、s+r的值。 ①×2-②,②-①得: 方程组4转化,得: 方程组5你看,方程组5是不是跟我们的韦达定理很像? 韦达定理给出了一元二次方程ax²+bx+c=0根与系数的关系: 韦达定理如果我们把s、r当成一个未知数为x的一元二次方程的两个根,那么我们可以根据韦达定理来构造这个一元二次方程,然后用求根公式求出s、r的值: 方程1解这个方程,根据求根公式解得: s、r的值需要注意的是,因为x1、x2的值是可以互换的,所以s、r的值也可以互换,这个结论等会会用。 我们根据我们最初对s、r的定义可以知道: 方程组6不要被这个庞然大物给吓到了。仔细观察,你可以发现: 图1我把相同的地方用同样颜色的框给框起来了。 诶,你看,除最后一个式子外,每个式子都有一部分和下一个式子的左边相同。 如果我们把第二个式子代入第一个式子,再把第三个式子代入第二个式子,再把第四个式子代入第三个式子……如此循环往复,直到最后一个式子代入倒数第二个式子里为止。 如果上面的话你没有理解,不妨看看下面的过程: 过程1过程2如此循环往复,这样等式右边不看s的话会剩下a2-ra1.而a1、a2的值我们是知道的!成功就在眼前! OK,那么现在我们需要研究的问题是,一共有多少个s自乘? 第一个式子本来自己有一个,每代入一次就多一个,我们一共代入了几次呢? 一共有几个式子,我们就代入了(几-1)次(因为第一个式子不用自己代入自己)。 那么有几个式子呢?观察第一个式子和最后一个式子: 图2从n到3有几个数字?有几个数字也就是有几个式子。 这是一个小学学过的已知公差、首项末项,求项数的简单问题。答案是有(n-2)个数字。 所以也就是有(n-2)个式子,也就等于代入了(n-3)次,所以多出来(n-3)个s自乘,在算上第一个式子自带的一个,一共有(n-2)个s自乘。所以我们得到: 式4天哪,这里还有一个讨人厌的a(n-1)没消掉。 还记得我们的s、r的值是可以调换的吗?所以有: 方程组7如何消去a(n-1)?用加减消元法。 ①×s-②×r,得: 式5我们将a1=a2=1代入,得 式6这好像还是很复杂,不过,别忘了,我们之前得到s+r=1,那么1-r=s,1-s=r,将这两个等式代入: 式7化简+转化得: 式8你看,我们的通项公式出来了!现在只需把我们之前求得的s、r的值代入即可: 式9化简得: 通项公式呼——我们终于求出斐波那契数列的通项公式了。 我想你不会想去检验它了。毕竟,它可真是个庞然大物,我们的推导也没有错误(单押)。 那么,显然,n都是正整数,而其他那几坨都是无理数,得到的结果必然是正整数,因此这就是一个典型的用无理数来表示有理数的例子。当然,用无理数表示有理数的例子还很多。 总结斐波那契数列的定义: 斐波那契数列的定义(n>2)斐波那契数列的通项公式: 斐波那契数列的通项公式题外话:我查的资料比我发在动态里的证明还要简略得多,仿佛多一个字会掉一块肉似的,处处都是“显然”、“易得”,搞得我得拿笔自己推算。我可不希望我的专栏也是如此。因此,如果还有不明白的,尽管在评论区回复! 韦达定理:CV5058191 |
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