卡方分布的定义：

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，…,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。

期望值：

χ 2 = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + . . . x n 2 \chi^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... x_n^2 χ2=x12​+x22​+x32​+...xn2​

E ( χ 2 ) = E ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + . . . x n 2 ) = E ( x 1 2 ) + E ( x 2 2 ) + E ( x 3 2 ) + . . . E ( x n 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ x 1 2 f ( x 1 ) d x + ∫ − ∞ + ∞ x 2 2 f ( x 1 ) d x + ∫ − ∞ + ∞ x 3 2 f ( x 1 ) d x + . . . + ∫ − ∞ + ∞ x n 2 f ( x 1 ) d x = n E(\chi^2 )=E( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... x_n^2 )=\\ E(x_1^2) + E(x_2^2) + E(x_3^2) + ... E(x_n^2 ) =\\ \int _{-\infty}^{+\infty} x_1^2 f(x_1) dx+ \int _{-\infty}^{+\infty} x_2^2 f(x_1) dx + \int _{-\infty}^{+\infty} x_3^2 f(x_1) dx + ... +\int _{-\infty}^{+\infty} x_n^2f(x_1) dx = n E(χ2)=E(x12​+x22​+x32​+...xn2​)=E(x12​)+E(x22​)+E(x32​)+...E(xn2​)=∫−∞+∞​x12​f(x1​)dx+∫−∞+∞​x22​f(x1​)dx+∫−∞+∞​x32​f(x1​)dx+...+∫−∞+∞​xn2​f(x1​)dx=n

方差：

χ 2 = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + . . . x n 2 \chi^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... x_n^2 χ2=x12​+x22​+x32​+...xn2​

D ( χ 2 ) = D ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + . . . x n 2 ) = = D ( x 1 2 ) + D ( x 2 2 ) + D ( x 3 2 ) + . . . + D ( x n 2 ) = = E ( x 1 4 ) − [ E ( x 1 2 ) ] 2 + E ( x 2 4 ) − [ E ( x 2 2 ) ] 2 + E ( x 3 4 ) − [ E ( x 3 2 ) ] 2 + . . . + E ( x n 4 ) − [ E ( x n 2 ) ] 2 = ∫ − ∞ + ∞ x 1 4 e − x 1 2 2 d x 1 − 1 + ∫ − ∞ + ∞ x 2 4 e − x 2 2 2 d x 2 − 1 + ∫ − ∞ + ∞ x 3 4 e − x 3 2 2 d x 3 − 1 + . . . + ∫ − ∞ + ∞ x n 4 e − x n 2 2 d x n − 1 = ? ? ? D(\chi^2 )=D( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... x_n^2 )=\\ =D( x_1^2) + D(x_2^2) + D(x_3^2) + ... + D(x_n^2 )=\\ =E(x_1^4) - [E(x_1^2)]^2+ E(x_2^4) - [E(x_2^2)]^2 + E(x_3^4) -[E(x_3^2)]^2+ ... + E(x_n^4 ) - [E(x_n^2)]^2=\\ \int_{-\infty}^{+\infty}x_1^4 e^{-\frac{x_1^2}{2}} dx_1 -1 + \int_{-\infty}^{+\infty}x_2^4e^{-\frac{x_2^2}{2}} dx_2 -1 + \int_{-\infty}^{+\infty}x_3^4 e^{-\frac{x_3^2}{2}} dx_3 -1+ ... + \int_{-\infty}^{+\infty}x_n^4 e^{-\frac{x_n^2}{2}} dx_n -1 = ???\\ D(χ2)=D(x12​+x22​+x32​+...xn2​)==D(x12​)+D(x22​)+D(x32​)+...+D(xn2​)==E(x14​)−[E(x12​)]2+E(x24​)−[E(x22​)]2+E(x34​)−[E(x32​)]2+...+E(xn4​)−[E(xn2​)]2=∫−∞+∞​x14​e−2x12​​dx1​−1+∫−∞+∞​x24​e−2x22​​dx2​−1+∫−∞+∞​x34​e−2x32​​dx3​−1+...+∫−∞+∞​xn4​e−2xn2​​dxn​−1=???

注意观察，上述第一步的转换用到了独立分布的定义。独立分布的随机变量，其和的方差的等于方差的和。

观察第一项：

∫ − ∞ + ∞ x 1 4 e − x 1 2 2 d x 1 = x 1 3 [ − e − x 1 2 2 ] ∣ − ∞ + ∞ − ∫ − ∞ + ∞ 3 x 1 2 [ − e − x 1 2 2 ] d x 1 = ∫ − ∞ + ∞ 3 x 1 2 [ e − x 1 2 2 ] d x 1 = x 1 [ − 3 e − x 1 2 2 ] ∣ − ∞ + ∞ − ∫ − ∞ + ∞ [ − 3 e − x 1 2 2 ] d x 1 = 3 \int_{-\infty}^{+\infty}x_1^4 e^{-\frac{x_1^2}{2}} dx_1 = \\ x_1^3 [-e^{-\frac{x_1^2}{2}} ] |_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty}3x_1^2 [-e^{-\frac{x_1^2}{2}} ]dx_1=\\ \int_{-\infty}^{+\infty}3x_1^2 [e^{-\frac{x_1^2}{2}} ]dx_1= \\ x_1 [-3e^{-\frac{x_1^2}{2}} ] |_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} [-3e^{-\frac{x_1^2}{2}} ]dx_1= 3 ∫−∞+∞​x14​e−2x12​​dx1​=x13​[−e−2x12​​]∣−∞+∞​−∫−∞+∞​3x12​[−e−2x12​​]dx1​=∫−∞+∞​3x12​[e−2x12​​]dx1​=x1​[−3e−2x12​​]∣−∞+∞​−∫−∞+∞​[−3e−2x12​​]dx1​=3 因此可得， χ 2 \chi^2 χ2的方差是3n-n = 2n