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可微函数
f
f
f 是凸函数 当且仅当
d
o
m
f
domf
domf 是凸集，且
(
▽
f
(
x
)
−
▽
f
(
y
)
)
T
(
x
−
y
)
;
0
,
∀
x
,
y
∈
d
o
m
f
(\bigtriangledown f(x)-\bigtriangledown f(y))^T(x-y);0, \;\; \forall x,y \in dom f
(▽f(x)−▽f(y))T(x−y)>0,∀x,y∈domf 即
▽
f
:
R
n
→
R
n
\bigtriangledown f: \R^n \rightarrow \R^n
▽f:Rn→Rn 是单调映射（monotone mapping）。
证明：
如果
f
f
f 是可微的凸函数，则有
f
(
y
)
≥
f
(
x
)
+
▽
f
(
x
)
T
(
y
−
x
)
,
f
(
x
)
≥
f
(
y
)
+
▽
f
(
y
)
T
(
x
−
y
)
.
f(y) \geq f(x) + \bigtriangledown f(x)^T(y-x),\\ f(x) \geq f(y) + \bigtriangledown f(y)^T(x-y).
f(y)≥f(x)+▽f(x)T(y−x),f(x)≥f(y)+▽f(y)T(x−y).将上面两式相加得
(
▽
f
(
x
)
−
▽
f
(
y
)
)
T
(
x
−
y
)
;
0
(\bigtriangledown f(x)-\bigtriangledown f(y))^T(x-y);0
(▽f(x)−▽f(y))T(x−y)>0如果
▽
f
\bigtriangledown f
▽f 是单调的，定义函数
g
g
g :
g
(
t
)
=
f
(
x
+
t
(
y
−
x
)
)
,
t
∈
[
0
,
1
]
g
′
(
t
)
=
▽
f
(
x
+
t
(
y
−
x
)
)
T
(
y
−
x
)
g(t) = f(x+t(y-x)), \;t \in [0,1]\\ g'(t) = \bigtriangledown f(x+t(y-x))^T(y-x)
g(t)=f(x+t(y−x)),t∈[0,1]g′(t)=▽f(x+t(y−x))T(y−x)则由
g
′
(
t
)
g'(t)
g′(t) 的连续性以及
g
′
(
1
)
−
g
′
(
0
)
;
0
且
g
′
(
0
)
−
g
′
(
0
)
=
0
g'(1)-g'(0) ;0 \;且\; g'(0)-g'(0) = 0
g′(1)−g′(0)>0且g′(0)−g′(0)=0得
g
′
(
t
)
−
g
′
(
0
)
≥
0
,
g'(t) -g'(0) \geq 0,\;\;
g′(t)−g′(0)≥0,因此
f
(
y
)
=
g
(
1
)
=
g
(
0
)
+
∫
0
1
g
′
(
t
)
d
t
≥
g
(
0
)
+
g
′
(
0
)
=
f
(
x
)
+
▽
f
(
x
)
)
T
(
y
−
x
)
f(y) = g(1) = g(0) + \int_0^1 g'(t)dt \geq g(0) + g'(0) \\= f(x) + \bigtriangledown f(x))^T(y-x)
f(y)=g(1)=g(0)+∫01g′(t)dt≥g(0)+g′(0)=f(x)+▽f(x))T(y−x) 即
f
f
f 为凸函数。
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