第三课向量与平面直线方程 |
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第三课向量与平面直线方程
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向量
点积，加减什么的就不说了 叉积：
然后是如果我们给定两个向量的坐标且已知个坐标的叉积结果，那么怎么求叉积结果的坐标，这里以三维空间为例：
就是两个平面方程联立 点向式（对称式）要写方程，关键是找到直线上的满足的方程，已知一个点和方向向量，那么直线上的点与已知点的向量与方向向量平行，得到 可以由对称式快速转化过来。 令三个=t，将x，y，z用t表示 转化关键是对称式和一般式的相互转换 一般式到对称式：两个平面叉积求出方向向量，然后再找一个点就行了。 对称式到一般式：就是两个等号连接的三个式子，随便取两个组合成两组作为方程联立后就是一般式方程。 补充 直线系
思路是在平面上找一个点然后与外面那个点连成一个向量，这个向量在平面法向量上的投影就是点到平面的距离。记公式更好形式与二维中点到直线的距离公式形式差不多。
 利用s1和p2得到直线的垂面，再利用P1P2和s1的叉积得到方向向量，再结合P1或P2点写出平面方程，这两个方程联立就是所求直线的方程。
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这个是叉积结果与原来两个向量的方向与模长的关系，其中模长为两者模长相乘后乘以夹角的sin值，方向符合右手规则，即四指从第一个向量的方向以最小的角度转向第二个向量时的大拇指方向，这里区别第一个向量和第二个向量是因为叉积的结果与向量的顺序有关，于是有以下性质 
结合前面的性质，我们很容易能将两个向量相乘的结果转化为坐标向量的叉积，那么对于正交的三维坐标系（两个坐标叉积结果与另一个共线），我们有一个有用的结论 
叉积的结果刚好是两个向量三角区域的面积的两倍，这个可以帮助我们计算已知坐标的三角形面积的计算
由几何意义得轮换（不是乱换）值不变 坐标计算方法为： 
由于ijk是单位向量相当于结果就是将ijk换成c的坐标，当然和这里给出的值是一样的，这里这样写我觉得就是方便记忆
关键是求出平面上的所有点满足的方程，现在知道一个点还有法向量，那么在平面上取一个点用它和那个点组成向量，这个向量与法向量的点积为零，就求完了
共面就是三个向量的混合积为零，然后以减少x，y，z出现为标准选出三个向量就行了
平行与哪个轴，哪个轴对应的下面的数字就是无穷大，就是不存在这个数。
类比二维中的直线系方程
就是这样，如果高是零就说明是共面的
3. 已经有了一个点了，还要方向向量，利用方向向量与s1垂直和方向向量与P1P2和s1的叉积垂直得到方向向量 
方向向量很好求但是点很难找，所以我们采用平面联立的方式，两个平面已经在图中画出来了，他们分别过P1，P2点并且以方向向量与s1，s2的叉积为法向量。 
求出红蓝平面的方程，他们的交线即为所求【本文地址】
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