以数据为基础而建立数学模型的方法称为数据建模方法， 包括回归、统计、机器学习、深度学习、灰色预测、主成分分析、神经网络、时间序列分析等方法， 其中最常用的方法还是回归方法。 本讲主要介绍在数学建模中常用几种回归方法的 MATLAB 实现过程。

根据回归方法中因变量的个数和回归函数的类型（线性或非线性）可将回归方法分为:一元线性、一元非线性、多元回归。另外还有两种特殊的回归方式，一种在回归过程中可以调整变量数的回归方法，称为逐步回归，另一种是以指数结构函数作为回归模型的回归方法，称为 Logistic 回归。本讲将逐一介绍这几个回归方法。

1. 一元回归

1.1 一元线性回归

[ 例1 ] 近 10 年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额（单位：亿元）的数据见表3-1，请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。

表1 商品零售总额与职工工资总额

该问题是典型的一元回归问题，但先要确定是线性还是非线性，然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了，具体实现的 MATLAB 代码如下：

（1）输入数据

clc, clear all, close all

x=[23.80,27.60,31.60,32.40,33.70,34.90,43.20,52.80,63.80,73.40];

y=[41.4,51.8,61.70,67.90,68.70,77.50,95.90,137.40,155.0,175.0];

（2）采用最小二乘回归

Figure

plot(x,y,'r*')                         %作散点图

xlabel('x（职工工资总额）','fontsize', 12)           %横坐标名

ylabel('y（商品零售总额）', 'fontsize',12)           %纵坐标名

set(gca,'linewidth',2);

% 采用最小二乘拟合

Lxx=sum((x-mean(x)).^2);

Lxy=sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));

b1=Lxy/Lxx;

b0=mean(y)-b1*mean(x);

y1=b1*x+b0;

hold on

plot(x, y1,'linewidth',2);

运行本节程序，会得到如图 1 所示的回归图形。在用最小二乘回归之前，先绘制了数据的散点图，这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后，再用线性回归的方法进行回归，这样也更符合我们分析数据的一般思路。

图1 职工工资总额和商品零售总额关系趋势图

（3）采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归

m2 = LinearModel.fit(x,y)

运行结果如下：

m2 =

Linear regression model:

    y ~ 1 + x1 Estimated Coefficients:

               Estimate      SE       tStat       pValue 

    (Intercept)    -23.549      5.1028    -4.615     0.0017215

    x1           2.7991     0.11456    24.435    8.4014e-09

R-squared: 0.987,  Adjusted R-Squared 0.985

F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09

（4）采用 regress 函数进行回归

Y=y';

X=[ones(size(x,2),1),x'];

[b, bint, r, rint, s] = regress(Y, X)

运行结果如下：

b =

  -23.5493

    2.7991

在以上回归程序中，使用了两个回归函数 LinearModel.fit 和 regress。在实际使用中，只要根据自己的需要选用一种就可以了。函数 LinearModel.fit 输出的内容为典型的线性回归的参数。关于 regress，其用法多样，MATLAB 帮助中关于 regress 的用法，有以下几种：

     b = regress(y,X)

    [b,bint] = regress(y,X)

    [b,bint,r] = regress(y,X)

    [b,bint,r,rint] = regress(y,X)

    [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X)

    [...] = regress(y,X,alpha)

输入 y（因变量，列向量），X（1与自变量组成的矩阵）和（alpha，是显著性水平, 缺省时默认0.05）。

输出

bint 是 β0，β1 的置信区间，r 是残差（列向量），rint是残差的置信区间，s包含4个统计量：决定系数 R^2（相关系数为R），F 值，F(1,n-2) 分布大于 F 值的概率 p，剩余方差 s^2 的值。也可由程序 sum(r^2)/(n-2) 计算。其意义和用法如下：R^2 的值越接近 1，变量的线性相关性越强，说明模型有效；如果满足

则认为变量y与x显著地有线性关系，其中 F1-α(1，n-2) 的值可查F分布表，或直接用 MATLAB 命令 finv(1-α,1, n-2) 计算得到；如果 p F1-α(m,n-m-1) ，即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系；否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 Ｆ＝67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。

3）p 值检验：若 p < α（α 为预定显著水平），则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果，p