R R R 是一个任意集合

定义域 ( Domain ) : d o m R = { x ∣ ∃ y ( x R y ) } dom R = \{ x | \exist y (xRy) \} domR={x∣∃y(xRy)}

存在 y y y , x x x 与 y y y 有 R R R 关系 , R R R 关系是一个集合 , 集合中的元素是有序对 , x R y xRy xRy 是 < x , y > 有序对 ;

R R R 中的有序对 , 第一个元素是 x x x , 第二个元素是 y y y , 那么可以将该 x x x 放入定义域中 ;

R R R 关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成一个定义域 ;

值域 ( Range ) : r a n R = { y ∣ ∃ y ( x R y ) } ran R = \{ y | \exist y (xRy) \} ranR={y∣∃y(xRy)}

R R R 关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成值域 ;

域 ( Field ) : f l d R = d o m R ∪ r a n R fld R = dom R \cup ran R fldR=domR∪ranR

域 是 定义域 和 值域的并集 ;

1. R 1 = { a , b } R_1 = \{a, b\} R1​={a,b}

R 1 R_1 R1​ 中没有有序对 , 因此其 定义域 , 值域为空 , 进而其 域 也为空 ;

d o m R 1 = ∅ dom R_1 = \varnothing domR1​=∅

r a n R 1 = ∅ ran R_1 = \varnothing ranR1​=∅

f l d R 1 = ∅ fld R_1 = \varnothing fldR1​=∅

2. R 2 = { a , b , < c , d > , < e , f > } R_2 = \{ a, b, , \} R2​={a,b,,}

d o m R 2 = { c , e } dom R_2 = \{ c, e \} domR2​={c,e}

r a n R 2 = { d , f } ran R_2 = \{ d, f \} ranR2​={d,f}

f l d R 2 = { c , d , e , f } fld R_2 = \{ c, d, e , f\} fldR2​={c,d,e,f}

3. R 3 = { < 1 , 2 > , < 3 , 4 > , < 5 , 6 > } R_3 = \{ , , \} R3​={,,}

d o m R 3 = { 1 , 3 , 5 } dom R_3 = \{ 1, 3, 5 \} domR3​={1,3,5}

r a n R 3 = { 2 , 4 , 6 } ran R_3 = \{ 2, 4, 6 \} ranR3​={2,4,6}

f l d R 3 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } fld R_3 = \{ 1, 2, 3, 4,5, 6\} fldR3​={1,2,3,4,5,6}

任意集合 F , G F , G F,G , 这里两个集合是关系 , 集合中的元素是有序对

逆运算 ( Inverse ) :

F − 1 = { < x , y > ∣ y F x } F^{-1} = \{ | yFx \} F−1={∣yFx}

将 F F F 关系中的所有有序对中的元素 , 前后调换方向 , 有序对中第一个元素变为第二个元素 , 第二个元素变为第一个元素 ;

如 : 将 y F x yFx yFx , 是 < y , x > 有序对 , 变成 < x , y > 有序对 ;

逆序合成 ( Composite ) :

F o G = { < x , y > ∣ ∃ z ( x G z ∧ z F y ) } FoG = \{ | \exist z ( xGz \land zFy ) \} FoG={∣∃z(xGz∧zFy)}

如果 关系 G G G 中有 < x , z > 有序对 , 关系 F F F 中有 < z , y > 有序对 , 就可以得到一个新的有序对 < x , y > , 该新的有序对在 关系 F F F 和 关系 G G G 的合成 运算结果中 ;

这种合成是 逆序合成 , 先用 F o G FoG FoG 中的后面的 G G G 关系的有序对 , 然后再用 前者 F F F 中的有序对 ;

逆序合成 与之对应的是顺序合成 , 一般情况下使用逆序合成 , 其性质使用方便 ;

对于任意集合 F , A F, A F,A , 可以定义

F F F 集合在 A A A 集合上的 限制 ( Restriction ) :

F ↾ A = { < x , y > ∣ x F y ∧ x ∈ A } F \upharpoonright A = \{ | xFy \land x \in A \} F↾A={∣xFy∧x∈A}

解析 :

F F F 集合是一个关系 , 其元素是 有序对

A A A 集合是普通集合 , 其元素就是单纯的单个元素 ;

F F F 集合中的 有序对 元素中 , 如果 有序对的 第一个元素 在 A A A 集合中, 那么将这个有序对挑出来 , 放到一个新的集合中 , 这个新集合就称为 F F F 集合在 A A A 集合上的 限制 , 记作 F ↾ A F \upharpoonright A F↾A ;

上述 限制 ( Restriction ) 是限制 有序对中的第一个元素 ;

如果想要 限制第二个元素 , 将 F F F 集合中的有序对中的 第二个元素属于 A A A 的集合的有序对挑出来 , 可以将 F F F 关系进行逆运算 , 然后 求 F − 1 F^{-1} F−1 的限制 ;

限制的结果仍然是一个关系 , 其集合中的元素是有序对 ;

对于任意集合 F , A F, A F,A , 可以定义

F F F 集合在 A A A 集合上的 像 ( Image ) :

F ( A ) = r a n ( F ↾ A ) F(A) = ran(F \upharpoonright A) F(A)=ran(F↾A)

即 , F F F 在 A A A 集合上的 限制 ( Restriction ) 的值域 ;

另一种表示方式 : F [ A ] = { y ∣ ∃ x ( x ∈ A ) ∧ x F y } F [A] = \{ y | \exist x ( x \in A ) \land xFy \} F[A]={y∣∃x(x∈A)∧xFy}

将 F F F 中的 有序对 挑出来 , 然后挑出有序对中第一个元素在 A A A 集合中的有序对 , 将上述 有序对的第二个元素挑出来 , 放入新的集合中 , 这个集合就 是 F F F 在 A A A 集合上的 像 ;

像 的结果不是一个关系 , 而是 符合特定要求的 有序对集合 中的有序对的第二个元素组成的集合 ;

任意集合 F F F , 单根 ( Single Rooted ) 定义 :

F F F 是单根的

⇔ \Leftrightarrow ⇔

∀ y ( y ∈ r a n F → ∃ ! x ( x ∈ d o m F ∧ x F y ) ) \forall y ( y \in ran F \to \exist ! x( x \in domF \land xFy ) ) ∀y(y∈ranF→∃!x(x∈domF∧xFy))

⇔ \Leftrightarrow ⇔

( ∀ y ∈ r a n F ) ( ∃ ! x ∈ d o m F ) ( x F y ) ( \forall y \in ran F )( \exist ! x \in domF )(xFy) (∀y∈ranF)(∃!x∈domF)(xFy)

任何一个 y y y , y y y是有序对中的值域中的元素 , 有序对中与 y y y 对应的值 x x x 元素 , 即 < x , y > 构成一个有序对 , 该 x x x 存在并且唯一 ;

有序对 < x , y > 中每个 y y y 都对应着不同的 x x x

一些谓词公式说明 :

∃ ! \exist ! ∃! 表示 唯一存在 ;

∀ x ( ( x ∈ A → B ( x ) ) \forall x ( (x \in A \to B(x) ) ∀x((x∈A→B(x)) 可以缩写为 ( ∀ x ∈ A ) B ( x ) (\forall x \in A)B(x) (∀x∈A)B(x)

∃ x ( x ∈ A ∧ B ( x ) ) \exist x ( x \in A \land B(x) ) ∃x(x∈A∧B(x)) 可以缩写为 ( ∃ x ∈ A ) B ( x ) (\exist x \in A)B(x) (∃x∈A)B(x)

任意集合 F F F , 单值 ( Single Value ) 定义 :

F F F 是单值的

⇔ \Leftrightarrow ⇔

∀ x ( x ∈ d o m F → ∃ ! y ( y ∈ r a n F ∧ x F y ) ) \forall x ( x \in dom F \to \exist ! y( y \in ranF \land xFy ) ) ∀x(x∈domF→∃!y(y∈ranF∧xFy))

⇔ \Leftrightarrow ⇔

( ∀ x ∈ d o m F ) ( ∃ ! y ∈ r a n F ) ( x F y ) ( \forall x \in dom F )( \exist ! y \in ranF )(xFy) (∀x∈domF)(∃!y∈ranF)(xFy)

任何一个 x x x , x x x是有序对中的定义域域中的元素 , 有序对中与 x x x 对应的值 y y y 元素 , 即 < x , y > 构成一个有序对 , 该 y y y 存在并且唯一 ;

有序对 < x , y > 中每个 x x x 都对应着不同的 y y y

R 1 , R 2 , R 3 R_1, R_2, R_3 R1​,R2​,R3​ 是三个集合 , 则有以下性质 :

( R 1 o R 2 ) o R 3 = ( R 1 o ( R 2 o R 3 ) ) (R_1 o R_2) o R_3 = (R_1 o ( R_2 o R_3 )) (R1​oR2​)oR3​=(R1​o(R2​oR3​))

F , G F, G F,G 是两集合 , 有以下性质 :

( F o G ) − 1 = G − 1 o F − 1 (F o G)^{-1} = G^{-1} o F^{-1} (FoG)−1=G−1oF−1

合成运算的逆 等于 两个集合逆的合成 ;