集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ∣” 是偏序关系 ,

偏序集是 < A , ∣ >

x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​ y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​

绘制上述偏序集的哈斯图 :

1 1 1 是最小的 , 1 1 1 能整除所有的数 ;

1 1 1 上面的一层是素数 , 素数只能被 1 1 1 和其本身整除 ; 素数肯定是覆盖 1 1 1 的 ; 即素数与 1 1 1 之间没有元素 ;

素数之上的数 , 由素数相乘的数组成 ;

6 6 6 既可以整除 2 2 2 , 又可以整除 3 3 3 , 因此其既覆盖 2 2 2 , 又覆盖 3 3 3 ;

10 10 10 既可以整除 2 2 2 , 又可以整除 5 5 5 , 因此其既覆盖 2 2 2 , 又覆盖 5 5 5 ;

15 15 15 既可以整除 3 3 3 , 又可以整除 5 5 5 , 因此其既覆盖 3 3 3 , 又覆盖 5 5 5 ;

4 4 4 可以整除 2 2 2 , 因此 4 4 4 覆盖 2 2 2 ;

9 9 9 可以整除 3 3 3 , 因此 9 9 9 覆盖 3 3 3 ;

集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \} A={a,b,c} ,

集族 A \mathscr{A} A 包含于 A A A 集合的幂集 , A ⊆ P ( A ) \mathscr{A} \subseteq P(A) A⊆P(A) ,

集族 A = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { b , c } , { a , c } } \mathscr{A} = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a , b \} , \{ b,c \} , \{ a, c \} \} A={∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}}

集族 A \mathscr{A} A 上的 包含关系 “ ⊆ \subseteq ⊆” 是偏序关系 ,

偏序集是 < A , ⊆ >

空集 包含于 所有集合 , 是最小的 , 在哈斯图最下面 ;

空集 之上是单元集 , 单元集 覆盖 空集 , 它们之间并不会有第三个元素 ;

三个单元集之间相互没有包含关系 , 是不可比的 ;

单元集 之上是 双元集 , 每个 双元集 之下就是其包含的对应的单元集 ;

加细关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集族 ;

集合 A A A 非空 , π \pi π 是 A A A 集合划分组成的集合 , 每个划分都是一个集族 ;

划分参考 : 【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )

集族之间有一种关系 , 加细关系 , 使用符号 ≼ 加 细 \preccurlyeq_{加细} ≼加细​ 表示 ;

加细关系 ≼ 加 细 \preccurlyeq_{加细} ≼加细​ 符号化表示 :

≼ 加 细 = { < x , y > ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preccurlyeq_{加细} = \{ | x, y \in \pi \land x 是 y 的加细 \} ≼加细​={∣x,y∈π∧x是y的加细}

前提 :

集合 A = { a , b , c , d } A = \{ a, b , c , d \} A={a,b,c,d}

集族 A 1 = { { a } , { b } , { c } , { d } } \mathscr{A}_1= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ d \} \} A1​={{a},{b},{c},{d}}

集族 A 2 = { { a , b } , { c , d } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a , b \} , \{ c , d \} \} A2​={{a,b},{c,d}}

集族 A 3 = { { a , c } , { b , d } } \mathscr{A}_3= \{ \{ a,c \} , \{ b,d\} \} A3​={{a,c},{b,d}}

集族 A 4 = { { a } , { b , c , d } } \mathscr{A}_4= \{ \{ a \} , \{ b, c , d \} \} A4​={{a},{b,c,d}}

集族 A 5 = { { a } , { b } , { c , d } } \mathscr{A}_5= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c , d \} \} A5​={{a},{b},{c,d}}

集族 A 6 = { { a , b , c , d } } \mathscr{A}_6 = \{ \{ a , b , c , d\} \} A6​={{a,b,c,d}}

上述集族都是 A A A 集合的划分 ;

划分关系的哈斯图 :

A 1 \mathscr{A}_1 A1​ 是所有划分的加细 , 是最细的划分 , 在哈斯图最下面 ;

所有的划分都是 A 6 \mathscr{A}_6 A6​ 的加细 , 是最粗粒度的划分, 在哈斯图最上面 ;

A 5 \mathscr{A}_5 A5​ 既是 A 2 \mathscr{A}_2 A2​ 的加细 , 又是 A 4 \mathscr{A}_4 A4​ 的加细 ;

A 3 \mathscr{A}_3 A3​ 与 A 4 \mathscr{A}_4 A4​ 互相不是对方的加细 , 不可比 ;

A 2 \mathscr{A}_2 A2​ 与 A 4 \mathscr{A}_4 A4​ 互相不是对方的加细 , 不可比 ;

A 2 \mathscr{A}_2 A2​ 与 A 3 \mathscr{A}_3 A3​ 互相不是对方的加细 , 不可比 ;

A 3 \mathscr{A}_3 A3​ 与 A 5 \mathscr{A}_5 A5​ 互相不是对方的加细 , 不可比 ;