本节总结一下数列极限的概念。

注：该定义方法源于[1]。

由 Bolzano-Weierstrass 定理 ：有界数列必有收敛子列。

这就提示我们：对于不存在极限的有界数列，可以通过研究其子列来刻画其本身的情况。

定义 1（有界数列的极限点）：设 \(\{x_n\}\) 为一有界数列，若存在它的一个子列 \(\{x_{n_k}\}\)，使得

则称 \(\xi\) 为数列 \(\{x_n\}\) 的一个 极限点。

现在，设 \(\{x_n\}\) 为一有界数列，\(E\) 为数列 \(\{x_n\}\) 的所有极限点汇成的集合，即

则 \(E\) 非空有界。下面进行分析：

首先，\(\{x_n\}\) 是非空有界集合，由 Bolzano-Weierstrass 定理 知，\(\{x_n\}\) 必有收敛子列，因此，有界数列 \(\{x_n\}\) 必有极限点，因此，\(E\) 非空。

其次，由于 \(\{x_n\}\) 是有界集合，由数列有界的定义，\(\exists m,M \in \mathbb{R},s.t. \forall n \in \mathbb{N}_{+}:m \le x_n \le M\)。

设 \(\{x_{n_k}\}\) 是有界数列 \(\{x_n\}\) 的任意一个收敛子列，并且 \(\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}x_{n_k}=\xi\)。则由数列极限的定义，\(\forall \epsilon>0,\exists K \in \mathbb{N}_{+},s.t.\forall k > K:|x_{n_k}-\xi|