层次分析法（AHP）详解+完整代码

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层次分析法（AHP）详解+完整代码

2023-10-16 23:49| 来源: 网络整理| 查看: 265

层次分析法（AHP） 1.算法简述与原理分析

层次分析法是一种主观赋值评价方法也是一个多指标综合评价算法，常用于综合评价类模型。层次分析法将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等多个层次，并在此基础上进行定性和定量分析，是一种简单、实用的算法。

原理：是在分析一个现象或问题之前，首先将现象或问题根据他们的性质分解为相关因素，并依据因素之间的关系形成一个多层次的结构模型。然后通过经验或专家来判断低层元素对高层元素的相对重要性，并根据重要性的程度得出权重排序。

2.AHP层次分析法过程

层次分析法进行建模，大致分为以下四步：

1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。 2.对于同一层次的个元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。 3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。 4.填充权重矩阵，根据矩阵计算得分，得出结果。在这里插入图片描述

2.1构建层次结构模型

即将所有相关因素分为目标层、准则层和方案层

在这里插入图片描述

2.2构造判断矩阵

即把准则层的指标进行两两判断，确定各准则层对目标层的权重

对于准则层A我们可以构建：在这里插入图片描述

q其中A中的元素满足： w i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , … , n ) … … … … … （ 2 ） {w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………（2） wi=n1j=1∑nk=1∑nakjaij,(i=1,2,…,n)……………（2）矩阵里面写什么简单来说就是假如有三个元素A、B、C，A和B相比A重要多少，A比C中要多少，B比C中要多少，这个“多少”我们通常使用Santy的1-9标度方法给出，即：

在这里插入图片描述

2.3层次单排序

大白话说一下，就是求解各个指标的权重。计算方法有三种：算数平均法、几何平均法和特征值法。（小tips：在实际建模中，不同的计算方法可能会导致结果有所偏差，为了保证结果的稳健性，可以采用多种方法分别对权值进行求解，避免单一方法所需产生的误差，使得出的结论更全面有效。）

举个栗子，这是一个判断矩阵。

在这里插入图片描述

2.3.1方法1：算术平均法求权重

Step1：将判断矩阵按照列归一化（每个元素除以其所在列的和，如1/（1+1/2+1/4）=0.5882）

在这里插入图片描述

Step2：将归一化的列相加（按行求和）

在这里插入图片描述

Step3：将相加后的每个元素除以n即可得到对应的权重向量

在这里插入图片描述

转换为数学公式就是：

在这里插入图片描述

w i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , … , n ) … … … … … （ 2 ） {w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………（2） wi=n1j=1∑nk=1∑nakjaij,(i=1,2,…,n)……………（2）

2.3.2方法2：几何平均法求权重（又叫方根法）

举个栗子：

在这里插入图片描述

Step1：计算每行乘积的m次方，得到一个m维向量

景色： 1 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 1 3 ∗ 8 5 = 2.3162 \sqrt[5]{{1*5*5*\frac{1}{3}*8}} = 2.3162 51∗5∗5∗31∗8 =2.3162

费用： 1 5 ∗ 1 ∗ 1 4 ∗ 1 6 ∗ 2 5 = 0.4409 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}*1*\frac{1}{4}*\frac{1}{6}*2}} = 0.4409 551∗1∗41∗61∗2 =0.4409

居住： 1 5 ∗ 4 ∗ 1 ∗ 1 5 ∗ 3 5 = 0.8635 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}*4*1*\frac{1}{5}*3}} = 0.8635 551∗4∗1∗51∗3 =0.8635

饮食： 3 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 1 ∗ 6 5 = 3.5195 \sqrt[5]{{3*6*5*1*6}} = 3.5195 53∗6∗5∗1∗6 =3.5195

旅途： 1 8 ∗ 1 2 ∗ 1 3 ∗ 1 6 ∗ 1 5 = 0.3222 \sqrt[5]{{\frac{1}{8}*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{6}*1}} = 0.3222 581∗21∗31∗61∗1 =0.3222

Step2：把向量标准化即为权重向量，即得到权重

设SUM=2.3162+0.4409+0.8635+3.5195+0.3222

则景色：2.3162/SUM=0.3104

费用：0.4409/SUM=0.0591

居住：0.8635/SUM=0.1157

饮食：3.5195/SUM=0.4716

旅途：0.3222/SUM

转换为数学公式为： w i ‾ = ∏ j = 1 m a i j m … … … … （ 1 ） \overline {{w_i}} = \sqrt[m]{{\prod\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}}} }}…………（1） wi=mj=1∏maij …………（1）

w i = w i ‾ ∑ j = 1 m w j ‾ … … … … （ 2 ） {w_i} = \frac{{\overline {{w_i}} }}{{\sum\nolimits_{j = 1}^m {\overline {{w_j}} } }}…………（2） wi=∑j=1mwjwi…………（2）

2.3.3方法3：特征值法求权重

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0。特征值为n时，对应的特征向量刚好为： k [ 1 a 11 , 1 a 12 , … , 1 a 1 n ] T ( k ≠ 0 ) k{\left[ {\frac{1}{{{a_{11}}}},\frac{1}{{{a_{12}}}}, \ldots ,\frac{1}{{{a_{1n}}}}} \right]^T}(k \ne 0) k[a111,a121,…,a1n1]T(k=0) 那么我们直接可以将特征向量归一化即可求得权重向量。

2.4一致性检验 2.4.1求解最大特征值

求得权重矩阵后，可以计算最大特征跟，公式为： λ max ⁡ = 1 n ∑ i = 1 n ( A W ) i W i {\lambda _{\max }} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{(AW)}_i}}}{{{W_i}}}} λmax=n1i=1∑nWi(AW)i 其中n为维度数，例如之前我们举得例子因素为景色、费用、居住、饮食、旅途时，n=5。AW为：判断矩阵*标准化后的权重，然后按行的累加值。

还是举个栗子：

判断矩阵A为：

在这里插入图片描述