我们通常用 {xn​}n⩾1​ 来表示一列数 (有顺序) x1​,x2​,⋯,xm​,⋯ 并且将它称为数列. 一个数列实际上就是一个映射f:Z⩾1​→R,  k↦f(k)=ak​.同样的, 给定一个映射f:Z⩾1​→X,  k↦f(k)=xk​,其中 (X,d) 是一个距离空间, 我们就得到了距离空间中的一个点列. 如果把 R 看成是距离空间的话 (我们之前已经这样做了) , 那么数列只是点列的一个特殊情况.

定义 4.1 (极限的定义, ε−N 语言). 假设 {xn​}n⩾1​ 是实数序列. 如果存在 x∈R, 使得对任意的 ε>0, 总存在 N⩾1, 使得对任意的 n⩾N, 我们都有∣xn​−x∣0, 总存在 N⩾1, 使得对任意的 n⩾N, 我们都有d(xn​,x)0, 我们取 N=1, 当 n⩾1 时, 有 ∣xn​−x∣=00, 可以选取 N, 使得 N>ε1​, 比如说, N=⌊ε1​⌋+1. 当 n⩾N 时, 有 ∣xn​−0∣=n1​0. 根据二项式的展开 (只需要乘法和加法以及各类实数的四则运算就可以证明) , 我们有λn=(1+δ)n=1+nδ+⋯⩾1+nδ.所以, 对任意的一个数 M, 总能选到 n, 使得 λn>M (Archimedes 原理) .

我们现在按照定义来证明: 对任意的 ε>0, 可以选取 N, 使得 λN>ε1​, 比如说, N=⌊εδ1​⌋+1. 当 n⩾N 时, 有 ∣xn​−0∣=λn1​0, 使得对任意的 n⩾N, 都有 xn​>M, 我们就称 xn​ 收敛到正无穷, 记作 n→∞lim​xn​=+∞. 类似地, 如果对任意的 M>0, 总存在 N>0, 使得对任意的 n⩾N, 都有 xn​