无论是牛顿插值还是拉格朗日插值，都只能保证在节点处的函数值没有误差。hermite插值更加复杂，可以保证一阶导数也连续，目前常用的是三次样条插值

如果函数值和函数在点的倒数值是已知的，也就是我们有一下的已知条件 这不就是hermite插值的已知条件吗，我们可以利用Hermite插值先进行一次插值： 但是此时其实我们是不知道 m i m_i mi​的值的，所以我们需要求出他，而现在我们只剩下了一个条件，端点处二阶导数连续：令 h i h_i hi​表示 i − i + 1 i-i+1 i−i+1区间的长度，将 s ( x ) s(x) s(x)转化成下面的形式 然后我们求一个二阶导数： 因为我们的二阶导数需要在端点处连续，也就是说在 [ x i , x i − 1 ] [x_i,x_{i-1}] [xi​,xi−1​]区间的 s ′ ′ ( x i ) s''(x_i) s′′(xi​)要等于区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1​,xi​]上二阶导数的对 x i x_i xi​的值，所以我们将上式的下标 i i i换成 i − 1 i-1 i−1， 此时我们根据区间端点处二阶导数连续的定义，得到下面的等式： 变化不复杂，就是简单的移相合并而已

画圈的部分是我们必须化为1的部分，只有这样我们才能吧 m i m_i mi​单独拿出来，进行一系列的化简： 这不就是一个关于 m i m_i mi​的方程组🐴，把它写成下面的形式就更直观了： 共有𝑛 + 1个未知数，𝑛 − 1个方程，好像不能解，所以我们仍然需要其他的计算条件，不妨考虑一下边界（ x 0 , x n x_0,x_n x0​,xn​）的情况：（注意 m i m_i mi​的定义，他表示的是一阶导数值），以下是可能给出的两种边界条件，只要有任意一种边界条件给出，我们就可以多出两个等式，就可以解了。tips：注意我们上面有两个二阶导数的公式，一个的参数是 x − x^- x−，另一个是 x + x^+ x+，对 x 0 x_0 x0​而言我们要带入 s ′ ′ ( x 0 + ) s''(x_0^+) s′′(x0+​)，只能在 x 0 x_0 x0​的右端点计算二阶导数。相反对于 x n x_n xn​，我们只能带入 s ′ ′ ( x n − ) s''(x_n^-) s′′(xn−​)也就是在左端点处计算二阶倒数。( x n x_n xn​再往右就没有定义了) 具体带入的过程： 然后我们就能得到一个可解的方程组“ 然后我们用 追赶法求解三对角方程组