牛顿（Newton）插值法的Matlab实现

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牛顿（Newton）插值法的Matlab实现

2024-06-15 19:38| 来源: 网络整理| 查看: 265

牛顿（Newton）插值法的Matlab实现算法程序运行对已知点计算手算例题本篇为Newton插值法，构造插值多项式拉格朗日（Lagrange）插值法链接如下：链接: Lagrange插值法的matlab实现.

算法

关于Newton插值多项式的具体内容和算法见《数值计算方法》—丁丽娟，P130-134

该算法核心是差商表的建立

在这里插入图片描述

上图来自《数值计算方法》—丁丽娟，P133-134

程序

Matlab代码如下：

// 输入量 xi: 离散样点的横坐标值 yi: 离散样点的纵坐标值 x: 插值多项式中自变量符号 // 输出量： y: Newton插值多项式 // An highlighted block function p= Newton_fun(x,xi,yi) n=length(xi); f=zeros(n,n); % 对差商表第一列赋值 for k=1:n f(k)=yi(k); end % 求差商表 for i=2:n % 差商表从0阶开始；但是矩阵是从1维开始存储！！！！！！ for k=i:n f(k,i)=(f(k,i-1)-f(k-1,i-1))/(xi(k)-xi(k+1-i)); end end disp('差商表如下：'); disp(f); %求插值多项式 p=0; for k=2:n t=1; for j=1:k-1 t=t*(x-xi(j)); disp(t) end p=f(k,k)*t+p; disp(p) end p=f(1,1)+p; end

注意：

书中算法存储数据下标从0开始，但实际要从1开始第三步对书上算法稍稍改动了一点儿，同阶差商计算顺序从低到高。运行

运行示例为《数值计算方法》—丁丽娟 P-134 例三例一：

// Command Window 输入 >> xi=[11 12 13]; >> yi=[2.3979 2.4849 2.5649]; >> x=sym('x'); >> p= Newton_fun(x,xi,yi)

运行结果如下：在这里插入图片描述

实际上上式与 p = (87*(x - 11))/1000 - (7*(x - 11)*(x - 12))/2000 + 23979/10000 一模一样。例二：

// Command Window 输入 >> xi=[10 11 12 13 14]; >> yi=[2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391]; >> x=sym('x'); >> p= Newton_fun(x,xi,yi) >> a=10:0.1:14; >> p=subs(p,x,a); >> plot(a,p)

运行结果如下：在这里插入图片描述

插值多项式： p = (953x)/10000 - (18689938453587(x - 10)(x - 11))/4503599627370496 + (7993589098605227(x - 10)(x - 11)(x - 12))/36893488147419103232 - (614891469122219*(x - 10)(x - 11)(x - 12)*(x - 13))/147573952589676412928 + 1687/1250

在这里插入图片描述

对已知点计算

运行示例为《数值计算方法》—丁丽娟 P-134 例三

Command Window 输入 >> p= Newton_fun(11.5,xi,yi)

输出如下：在这里插入图片描述

手算例题

计算插值多项式方法和程序算法一模一样。此处多了一个误差估计：在这里插入图片描述

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