动态规划问题中，完全背包问题一直都是一个非常棘手的问题。这类问题大致的描述如下：背包总容量 j 一定，物品具有 weight[i], value[i] 的属性，问在每种物品数量无限的情况下，如何使得最后背包内的总价值最大。这类问题用暴力枚举的时间复杂度量级达到指数级别（每种物品都有取与不取两种情况），肯定是不可取的，较常见的方法是使用动态规划的方式来解题，动态规划的时间复杂度为 O(m*n)（其中m表示背包容量，n表示物品种类）。我主要想讲的是，当最后完全背包问题是求解方案组合数与排列数时，编码的差异。

518. 零钱兑换 II

由于题目中说了，每一种面额的硬币有无限个，所以这道题是一道比较明显的完全背包问题。下面我主要想区分一下当要求输出排列数或组合数时，这道题（其他完全背包问题也适用）的不同编码方式。

dp[j]：表示凑成总金额为 j 的硬币组合数为 dp[j]。

递推公式推导： 我们可以想到，假如题目要求凑成总金额为 5 的组合数，硬币种类为 [1, 2, 5]，那么我们不难想到，组合数就是 dp[4] + dp[3] + dp[0]，怎么得出的呢？我将组合数这样排列其实是有目的的，由于硬币种类为3种，那么凑成金额 5 的方案有如下三种情况：

凑成总金额为 4 的方案 + 硬币 1 凑成总金额为 3 的方案 + 硬币 2 凑成总金额为 0 的方案 + 硬币 5

不知道大家能不能看出来，其实我们每次需要累加的就是 dp[j - coin[i]]。或许有人会问，那我方案里重复使用一种硬币是从哪里体现。我们从上面的三种方案里看方案一，虽然后面只是 +硬币1，但其实前面的 凑成总金额为 4 的方案 内已经包含了重复使用 硬币 1 的情况（例如硬币组合[1,1,1,1,1]），所以我们只需要考虑当前循环情况下：遍历硬币种类，不同的硬币种类再加上可以组成总金额的 金额为 j - coin[i] 的方案数。那么，我们递推公式就可以顺理成章的得出了：

dp[j] += dp[j - coin[i]]

而这个递推公式，也是解完全背包问题时，求装满背包有几种方案的一般公式。 我的标题里讲了，要区别排列数与组合数。我们知道，排列数是要考虑顺序的，组合数是不需要考虑顺序的。这一题就是不需要考虑顺序的求解组合数的情况。那么我们面对完全背包问题时，什么时候需要考虑顺序呢？以及，考虑顺序和不考虑顺序时，编码方式有什么不同呢？

举一个需要考虑顺序的完全背包问题情况：

例如，小p知道一串电话号码的所有数字和为 100，但是小p不知道该电话号码的总位数，也不知道里面任何一位数字，题目只给了电话号码数字范围为 [0, 9]，求总共有几种电话号码组合？

这道题虽然问的是组合，但是我们都知道电话号码 123 与 321 是两种不同的组合，那么这道题就是一道需要考虑顺序的完全背包问题了。

考虑顺序和不考虑顺序的编码方式有什么不同呢？

不考虑顺序：

for coin in coins:     for j in range(coin, amount + 1):         dp[j] += dp[j - coin]

考虑顺序：

for j in range(amount + 1):     for coin in coins:         if j - coin >= 0: dp[j] += dp[j - coin]

可以看出，不考虑顺序是先遍历的硬币种类，再遍历的背包容量，而考虑顺序是先遍历的背包容量，再遍历的硬币种类。我们举一个例子就可以看出二者差别了： 假设硬币种类为 [1, 2, 3]，目标背包容量 amount = 3 时：

不考虑顺序的遍历方式： dp[0] = 1 （不在背包内放东西也算一种方案） coin = 1: j = 1: dp[1] += dp[1 - 1] = dp[0] = 1 j = 2: dp[2] += dp[2 - 1] = dp[1] = 1 j = 3: dp[3] += dp[3 - 1] = dp[2] = 1 coin = 2: j = 2: dp[2] += dp[2 - 2] = dp[0] = 2 j = 3: dp[3] += dp[3 - 2] = dp[1] = 2 coin = 3: j = 3: dp[3] += dp[3 - 3] = dp[0] = 3

考虑顺序的遍历方式： dp[0] = 1 j = 1: coin = 1: dp[1] += dp[1 - 1] = dp[0] = 1 j = 2: coin = 1: dp[2] += dp[2 - 1] = dp[1] = 1 coin = 2: dp[2] += dp[2 - 2] = dp[0] = 2 j = 3: coin = 1: dp[3] += dp[3 - 1] = dp[2] = 2 coin = 2: dp[3] += dp[3 - 2] = dp[1] = 3 coin = 3: dp[3] += dp[3 - 3] = dp[0] = 4

上面是两种编码方式的在 j=3 时逻辑推导过程，那么差别到底在哪里呢？面对容量为3的背包，不考虑顺序的编码，方案为：

金额和为2的由硬币1构成的子方案 + 硬币1； 金额和为1的由硬币1&2构成的子方案 + 硬币2； 金额和为0的由硬币1&2&3构成的子方案 + 硬币3；

而考虑顺序的编码，在 j = 3 时，硬币方案为：

金额和为2的由硬币1&2&3构成的子方案 + 硬币1； 金额和为1的由硬币1&2&3构成的子方案 + 硬币2； 金额和为0的由硬币1&2&3构成的子方案 + 硬币3；

也就是说，不考虑顺序的编码过程中，子方案金额数不能超过硬币面值，但是，考虑顺序的编码时，子方案金额数可以超过硬币面值！！ 而这就是两种编码方式的重要区别！

这道题的代码：