定积分求解过程是否变限问题 以及当换元时注意事项 |
您所在的位置:网站首页 › 换元法解分数简便算 › 定积分求解过程是否变限问题 以及当换元时注意事项 |
目录 定积分求解过程是否变限问题 文字理解: 实例理解: 易错点和易混点: 1:定积分中的换元指什么? 2: 不定积分中第一类换元法和第二类换元法的本质和区别 3: df(x) ----> df(x)这个过程对大家产生困扰 换元时注意事项: 1:换元必换限,同时要将 dx = f(t)dt 也更换 2:换元要判断新元要保证连续可导: 3:积分区间上单调的替换函数是必要的 4:偶次方根下开平方,要加绝对值 5:牛顿莱布尼茨公式只适用于定积分,当定积分区间内有瑕点(该点的函数值为无穷) 定积分求解过程是否变限问题 文字理解:定积分换元有一个口诀:换字必换限(所以不换字就不换限)。 理解:通过判断是否 引入一个新的变量替换原来的变量 来确定是否更换 积分限 白话理解:你在积分中,如果一直用字母t,那么那个积分限当然还是t等于多少的积分限。但是一旦你在积分中,不要原来的字母t了,换成一个新的字母x,那么积分限当然要换成x等于多少了?。这就叫做,这就叫做换字必换限。不换字就不换限。明白了没有? 实例理解: 来源:(1 封私信) 闲敲棋子落灯hua - 知乎 (zhihu.com) (1 封私信) 龚漫奇 - 知乎 (zhihu.com) 易错点和易混点: 1:定积分中的换元指什么?定积分中说的"换元"指的是引入新变量替换原变量 2: 不定积分中第一类换元法和第二类换元法的本质和区别第一类换元法(凑微分): 第二类换元法: 通过这两个概念的引入,我们能清晰的认识到,第二类换元法的概念 与 定积分的换元的概念 是一 一对应的,故第二类换元法需要更换积分上下限。而第一类换元法的概念 与 定积分的换元的概念 并不是相同概念,故凑微分并不用更换积分上下限。 3: df(x) ----> df(x) 这个过程使大家产生困扰定积分公式 当凑微分时会产生这样的过程 df(x) ----> df(x) 容易误导大家,让大家误以为是更换了积分变量,其实如果单单只是df(x) ----> dg(x) ,而u(x)对应的函数并未更换变量,此时并不表示更换积分变量。注 dx 也是 df(x)中的一种情况 当f(x) =x 时。 若:定积分公式 中 u(x)df(x) 经过一系类变化转换为 v(x)dg(x) 这个过程仍然并没有引入新的变量,变量仍是"x",不用更改积分限。刚好凑微分符合该条件,故凑微分不用修改积分上下限。 若:定积分公式 中u(x)df(x)经过一系列变换转换为v(t)dg(t)此时要根据变换过程及时更换积分上下限。第二类换元需要修改上下限。 注:一定要分清 凑微分法 和 第二类换元法 和 定积分的换元 在概念上的区别。 换元时注意事项: 1:换元必换限,同时要将 dx = f(t)dt 也更换 2:换元要判断新元要保证连续可导:例如原积分区间(-1,1),换元函数是 x = 1/t ,很明显当x = 0时 t是无穷,所有新元函数在0处为无穷间断点,不连续也不可导,故此时不能换元。 3:积分区间上单调的替换函数是必要的进行定积分的变量替换时,选择在积分区间上单调的替换函数是非常重要的。这可以确保替换过程中的一一对应性,避免积分上下限混淆,并简化积分计算过程。在实际操作中,务必检查替换函数的单调性和可逆性,以确保积分计算的正确性 4:偶次方根下开平方,要加绝对值换元后,很多情况下都是会出现平方项,特别是三角换元,当遇见偶次根号下开方一定要小心 5:牛顿莱布尼茨公式只适用于定积分,当定积分区间内有瑕点(该点的函数值为无穷)这个很少见,一般让你求定积分都是已经帮你筛选过瑕点区间不用很担心。除非题目问你:该积分是否能用牛顿莱布尼茨求。 例题补充:例题1:设f(3x+1) =x ,求 本题是一道很典型的换元法求定积分 本题特点,一般换元法都是将定积分中的被积函数f(u(x)) --通过换元--> f(x) 这种形式方便计算。然而根据本题的条件,f(x)相当于一个隐函数,所以将f(x) ---通过换元--> 换成f(3x+1)方便计算。 |
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |