资源简介

4.2指数函数一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：指数函数的概念、图象和性质.难点：指数函数概念及性质的理解.三、教科书编写意图及教学建议对于指数函数概念的介绍，教科书强调从实际问题中抽象出数量关系；并用一定的数学式子表达这种数量关系；在分析数学式子特征的基础上，归纳概括得到指数函数的定义.这个过程强调了指数函数概念的抽象概括.在研究指数函数性质的过程中，教科书强调数形结合思想方法的运用，利用指数函数的图象探究指数函数的性质，并用所得到的性质进一步理解指数函数的图象.本节教科书还充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值.例如，教科书从旅游人次的增长问题和碳14的衰减问题这两个实例引入指数函数的概念.这两个问题，一个是增长问题，一个是衰减问题.通过实例，有利于学生更好地感受指数函数模型，促进学生了解中国文化、关心社会.建议教学时结合具体的实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值.根据本节内容具有数形结合的特点和计算的需要，在教学过程中要充分发挥信息技术的作用，尽量利用信息技术创设教学情境，为学生的数学探究和数学思维提供支持，更好地克服可能遇到的困难，理解指数函数的概念、图象和性质.4.2.1指数函数的概念1.问题的提出问题1是旅游经济的问题，A，B两地游客人数的增长和经济指标都源于真实数据，贴近现在国内的实际，利于学生从实际出发体会函数是刻画实际问题变化规律的数学模型；两地游客人数的变化一个呈指数增长、另一个呈线性增长，这种对比有利于学生理解指数函数的概念.这样的背景实例还具有一定的教育意义，即促进学生了解国家经济的发展、关心社会.教学时，也要注意发挥这个问题的数学育人的功能.问题2是碳14衰减的问题，生物体内的碳14含量随时间呈连续的指数衰减变化，这是一个经典的指数函数实例，有利于指数函数概念的理解.问题1和问题2一个是增长问题，一个是衰减问题，两个问题有利于学生从实际出发全面地认识指数函数.实际上，科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生包括碳14在内的放射性物质，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”.动植物在生长过程中衰减的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物体内的碳14含量不变.死亡后的动植物停止了与外界的相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年.这也是考古中常用碳14来推断年代的原因.教学中还可以让学生通过“阅读与思考”进一步了解放射性物质的衰减.2.指数函数概念的抽象概括教科书是通过问题1和问题2，分以下三步逐步抽象概括出指数函数的概念.首先，从问题1出发，分别通过变量的数据和这些数据的图象初步抽象出实际问题的变化规律.教学中要先让学生观察数据的变化情况，当不能发现数据的变化规律时，引导学生采取其他方法发现变化规律，比如将数据转化为图象形式进行观察.通过图象可以直观地看到变化的趋势，但还不能准确地刻画这一变化规律.其次，引导学生利用已知数据来说明图象的变化规律，并从图象中得到启发去处理数据，从而数形结合地发现实际问题变化规律的本质.在问题1中，图象显示A地景区的游客人次呈线性增长，B地景区的游客人次呈非线性增长，这两种增长变化如何用数量表示？由此引出通过对数据进行运算来探究数据变化规律的一种基本方法.分别对A，B两地景区的数据做减法和除法运算可以发现，年增长率相等是B地景区数据变化规律的本质.最后，给出具体问题变化规律的数学表示，并归纳概括出指数函数的一般表达式.根据问题1中B地景区旅游人次年增长率相等的这一变化规律的本质，可以得到解析式；由问题2可以得到解析式.尽管两个问题的实际背景不同，但它们的解析式都具有的形式.所以，就可以抽象概括出“函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是”.通过抽象和概括指数函数概念，可以帮助学生发展数学抽象的核心素养.3.指数增长和指数衰减的引入教科书在抽象概括指数函数概念的过程中，引入了指数增长和指数衰减.通过除法运算发现，B地景区游客人次每年都以相同的增长率在增长，像这样增长率为常数的变化方式就是指数增长.同样地，死亡生物体内碳14含量每年都以相同的衰减率在衰减，像这样衰减率为常数的变化方式就是指数衰减.其实，增长率或衰减率相等在一定程度上体现了指数函数增长或衰减变化的本质.对于指数函数，其本质特征是：对任意，，.因此，两个实例中指数增长或指数衰减的本质可以用下列式子体现：，，.当，时，上式即，.可见，两个具体事例引入指数增长和指数衰减可以帮助学生更清楚地认识指数函数的概念，更好地把握指数函数变化规律的本质.4.例题教学例1不仅可以让学生熟悉指数函数的解析式和对应关系，还可以让学生学习利用函数解析式列方程求底数的值.例2通过利用指数函数概念解决问题1和问题2有关的问题，让学生进一步了解指数函数的实际意义，并理解指数函数的概念. 同时引出形如的刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型.当初始量不为1时，一般就用这种函数刻画具有指数增长或衰减变化规律的实际问题.结合例2，还可以让学生举出几个指数型函数的例子，这些例子可以是学生课外搜集的具有指数增长或衰减规律背景的具体实例，也可以是本章涉及的有关实际问题的具体实例，通过这些实例增强对指数函数模型的认识.4.2.2指数函数的图象和性质1.作出图象，概括指数函数的性质在幂函数的教学中，已经将函数图象作为研究函数性质的直观工具，学生在此过程中积累了利用函数图象研究函数性质的经验.在此基础上，指数函数的图象和性质的教学应该以学生为主，引导学生类比研究幂函数的图象和性质的过程和方法，从以下两个方面进行探究.（1）观察图象，概括性质这是本小节教学的重点，可以先让学生根据研究幂函数的经验思考：如何研究一个函数的性质？研究一个函数的性质主要是研究哪些方面？首先，作出函数的图象.教科书给出了两种作图方式，教学时可以在描点作图基础上，进一步介绍用信息技术根据函数解析式作图.第一种方式就是列表描点作图.由于图象是由点构成的，列表描点可以清楚地反映出各个点的坐标的变化情况，从而由点到线直观地发现函数图象所体现的性质.教学时可以从简单的指数函数开始，再到，在研究了这一对函数之后，再研究具有类似对称关系的其他几对函数，从而概括它们的共同特征.列表描点作图也有两种方式；一种是通过人工计算各个点的坐标，然后列表描点作图；但最好是选择第二种方式，即利用计算工具直接计算各个点的坐标并列表，然后作图.第二种方式就是根据函数解析式直接作图.这是画函数图象最便捷的方式，但只有利用具有函数作图功能的信息技术才能实现.为了更好地概括函数性质，应该对函数中的底数进行任意取值，作出大量相应的具体指数函数的图象，并通过跟踪图象上的点，观察点的坐标的变化.其次，根据图象概括函数的性质.先让学生根据所作的大量具体函数的图象，归纳其范围、公共点、增减性等共性，然后概括指数函数的定义域、值域、定点和单调性.（2）由性质进一步认识图象我们一般是先作函数的图象，然后由图象概括出函数的性质，在信息技术的帮助下，这样的研究既方便又直观.另外，我们也可以先研究函数的性质，然后由性质去进一步分析函数的图象，这样可以更好地培养学生的理性思维.在本小节的教学中，在由图象概括出函数的性质后，还可以让学生根据所得性质进一步分析函数的图象，从“以形助数”和“以数助形”两个方面体会数形结合的思想方法.2.“探究”的教学分析（1）教科书第116页的“探究”是让学生用一种作图的方式，首先获得“函数的图象与函数的图象关于轴对称”的结论；然后利用这个结论，通过探究，让学生体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象.其目的是让学生学习用联系的观点看问题，以及通过逻辑推理获得数学结论.这样探究的好处是便于将指数函数分为和两类，从而分别对两类图象的共同特点进行归纳.直接引入函数不够自然，只有在探究之后才能有所体会.（2）教科书第117页的“探究”是让学生利用信息技术得到取任意值时函数的大量图象，并根据所作的这些图象直观地归纳出它们的共同特点.这样探究的好处是底数的取值自然，所作函数的图象也是自然产生的，而非事先规定的，且用信息技术能便捷地作出大量图象，易于进行归纳.但要将指数函数分为和两类进行讨论，还需要学生从所作图象的过程中去发现，或由教师进行引导.在上述探究过程中，要有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”，先观察图象得到图象的特征，然后再将图象特征转化为函数性质，逐步完成表4.2-3的内容.3.信息技术的使用在不使用信息技术的条件下，只能人工列表描点作出有限的几个人为指定的特殊函数的图象，然后观察这几个图象来讨论指数函数的性质.但是，这会带来一系列的问题，比如，为什么要画这几个函数的图象？为什么少量的几个函数图象就可以代表一般的函数图象，由此得到的性质是否可靠？为什么要把底数分为和这两类？利用信息技术，作图更加方便，学生能通过大量的函数图象看到其共性，更容易概括出函数的性质.信息技术在本小节的使用主要有以下两方面：（1）在同一平面直角坐标系内画出取任意值时函数的大量图象.可以设置的取值，然后通过控制的连续变化展示对应函数图象的分布情况；也可以逐个地取的值，然后分别作出对应函数的图象.（2）计算函数的自变量取值及其对应的函数值并列表，然后将所得有序实数对描点并画出函数的图象.同理，作出函数的图象，跟踪函数图象上的点，观察这些点关于轴的对称点，发现所有的对称点均在函数的图象上，并由相互对称的点的坐标关系分析函数与的关系.4.例题和练习的教学分析例3的主要目的是利用指数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的指数函数是关键也是难点.本例能够帮助学生进一步熟悉指数函数的性质，并促使他们形成用函数观点解决问题的意识.例4的主要目的是利用指数函数的图象分析和解决问题，建立函数图象与概念、性质的联系，进一步促使学生形成用函数观点解决问题的意识.练习第1题，通过底数互为倒数的两个指数函数的关系，进一步熟悉指数函数的图象和性质，可结合本小节的“探究”完成.练习第2题，利用指数函数的单调性比较两个数的大小，进一步熟悉指数函数的性质，可结合例3完成.练习第3题，主要是利用图象体现实际问题的变化规律，建立与指数函数的概念、性质的联系.

展开更多......

收起↑