§2.7 拓扑空间中的序列

　　本节重点:

　　掌握拓扑空间中序列的概念,及极限点的概念；

　　掌握数学分析中的序列的性质与拓扑空间中的序列的性质有何不同；

　　掌握不可数集中序列的特性；

　　掌握点集的凝聚点与序列的极限点的关系．

　　在读者熟知的数学分析课程中，往往用序列收敛的概念作为出发点来刻画集合的凝聚点，函数在某一点处的连续性等等．在这一节我们便会看到这种做法在一般的拓扑空间中并不可行；而要使得它变为可行的，则要对拓扑空间加以适当的限制．我们将来再研究这种限制加到什么程度为合适．

　　定义2.7.1　设X是一个拓扑空间．每一个映射S:→X，叫做X中的一个序列．我们常将序列S记作；或者．，或者干脆记作，其中．有时我们也将记号简化为{ }，但这时要警惕不要与单点集相混．

　　拓扑空间X中的一个序列实际上就是在X中按先后次序取到的一串点，这些点可能重复．因此一个序列 可以仅由有限个点组成，当这个集合是单点集时，我们称序列为一个常值序列．

　　定义2.7.2　设是拓扑空间X中的一个序列，x∈X．如果对于x的每一个邻域U，存在M∈,使得当i＞M时有xi∈U，则称点x是序列 ，的一个极限点（或极限），也称为序列收敛于x，记作

　　 lim＝x或→x(i→∞)

　　如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列．

　　拓扑空间中序列的收敛性质与以前我们在数学分析中熟悉的有很大的差别．例如，容易验证平庸空间中任何一个序列都收敛，并且收敛于这个空间中的任何一个点．这时极限的惟一性当然无法保证了．

　　定义2.7.3　设X是一个拓扑空间