由中心极限定理可知，许多随机变量的概率分布都是服从或近似服从正态分布的，因此正态分布在概率统计中显然有着极为重要的地位。以下给出一些关于正态分布的结论和定理：

设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1​,X2​,...,Xn​为来自总体为 X X X的容量为 n n n的一个样本，样本均值与样本方差分别为 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i X=n1​i=1∑n​Xi​ S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 S2=n−11​i=1∑n​(Xi​−X)2则有：

设总体 X X X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，则样本均值 X ‾ \overline X X服从正态分布 N ( μ , σ 2 n ) N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}) N(μ,nσ2​)，即： X ‾ ∼ ( μ , σ 2 n ) \overline X\sim(\mu,\frac{\sigma^2}{n}) X∼(μ,nσ2​)

设总体 X X X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，则统计量 u = X ‾ − μ σ / n u=\frac{\overline X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} u=σ/n ​X−μ​服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)，即： u = X ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) u=\frac{\overline X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\sim N(0,1) u=σ/n ​X−μ​∼N(0,1)

设总体 X X X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，则统计量 χ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 \chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 χ2=σ21​∑i=1n​(Xi​−X)2服从自由度为 n − 1 n-1 n−1的 χ 2 \chi^2 χ2分布，即： χ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2\sim \chi^2(n-1) χ2=σ21​i=1∑n​(Xi​−X)2∼χ2(n−1)

设总体 X X X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，则

(1). 样本均值 X ‾ \overline X X与样本方差 S 2 S^2 S2相互独立。 (2).统计量 χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 \chi^2=(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2} χ2=(n−1)σ2S2​服从自由度为 n − 1 n-1 n−1的 χ 2 \chi^2 χ2分布，即 χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2=(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1) χ2=(n−1)σ2S2​∼χ2(n−1) (3).统计量 t = X ‾ − μ S / n t=\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}} t=S/n ​X−μ​服从自由度为 n − 1 n-1 n−1的 t t t分布，即 t = X ‾ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) t=\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) t=S/n ​X−μ​∼t(n−1)

设总体 X X X服从正态分布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma^2_1) N(μ1​,σ12​)，总体 Y Y Y服从正态分布 N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma_2^2) N(μ2​,σ22​)，则统计量 U = ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 U=\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}} U=n1​σ12​​+n2​σ22​​ ​(X−Y)−(μ1​−μ2​)​服从标准正态分布，即： U = ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ∼ N ( 0 , 1 ) U=\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}}\sim N(0,1) U=n1​σ12​​+n2​σ22​​ ​(X−Y)−(μ1​−μ2​)​∼N(0,1)

设总体 X X X服从正态分布 N ( μ 1 , σ 2 ) N(\mu_1,\sigma^2) N(μ1​,σ2)，总体 Y Y Y服从正态分布 N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_2,\sigma^2) N(μ2​,σ2)，则 T = ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) S ω 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) T=\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_\omega \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2) T=Sω​n1​1​+n2​1​ ​(X−Y)−(μ1​−μ2​)​∼t(n1​+n2​−2)其中 S ω = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 − 2 S_\omega=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}} Sω​=n1​+n2​−2(n1​−1)S12​+(n2​−1)S22​​ ​

设总体 X X X服从正态分布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma_1^2) N(μ1​,σ12​)，总体 Y Y Y服从正态分布 N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma_2^2) N(μ2​,σ22​)，则 F = ∑ i = 1 n 1 ( X i − X ‾ ) 2 / n 1 σ 1 2 ∑ i = 1 n 2 ( X i − X ‾ ) 2 / n 2 σ 2 2 F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline X)^2/n_1\sigma^2_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\overline X)^2/n_2\sigma^2_2} F=∑i=1n2​​(Xi​−X)2/n2​σ22​∑i=1n1​​(Xi​−X)2/n1​σ12​​服从自由度为 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) (n_1-1,n_2-1) (n1​−1,n2​−1)的 F F F分布，即 F = ∑ i = 1 n 1 ( X i − X ‾ ) 2 / ( n 1 − 1 ) σ 1 2 ∑ i = 1 n 2 ( X i − X ‾ ) 2 / ( n 2 − 1 ) σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline X)^2/(n_1-1)\sigma^2_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\overline X)^2/(n_2-1)\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1) F=∑i=1n2​​(Xi​−X)2/(n2​−1)σ22​∑i=1n1​​(Xi​−X)2/(n1​−1)σ12​​∼F(n1​−1,n2​−1)

设总体 X X X服从正态分布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma_1^2) N(μ1​,σ12​)，总体 Y Y Y服从正态分布 N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma_2^2) N(μ2​,σ22​)，则统计量 F = S 1 2 / σ 1 2 S 2 2 / σ 2 2 F=\frac{S_1^2/\sigma^2_1}{S_2^2/\sigma^2_2} F=S22​/σ22​S12​/σ12​​服从自由度为 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) (n_1-1,n_2-1) (n1​−1,n2​−1)的 F F F分布，即 F = S 1 2 / σ 1 2 S 2 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F=\frac{S_1^2/\sigma^2_1}{S_2^2/\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1) F=S22​/σ22​S12​/σ12​​∼F(n1​−1,n2​−1)

感谢@思春的虫子(๑¯ํ ³ ¯ํ๑ 的指正，现将原定理3的“服从自由度为n的卡方分布”修改为“服从自由度为 n − 1 n-1 n−1 的卡方分布”，定理7也做了修改。附证明：

定理3证明：

1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 = n − 1 σ 2 ⋅ 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 = n − 1 σ 2 S 2 = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ σ ) 2 \begin{aligned} \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 & = \frac{n-1}{\sigma^2} · \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 \\ & = \frac{n-1}{\sigma^2}S^2 \\ & = \sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i - \overline X}{\sigma})^2 \\ \end{aligned} σ21​i=1∑n​(Xi​−X)2​=σ2n−1​⋅n−11​i=1∑n​(Xi​−X)2=σ2n−1​S2=i=1∑n​(σXi​−X​)2​又，因为 X i ∼ N ( μ , σ 2 ) X_i\sim N(\mu, \sigma^2) Xi​∼N(μ,σ2) 则有： X i − X ‾ σ = X i − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{X_i - \overline X}{\sigma} = \frac{X_i - \mu}{\sigma}\sim N(0,1) σXi​−X​=σXi​−μ​∼N(0,1)即，可得： 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 = ∑ i = 1 n ( X i − μ σ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 = \sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i - \mu}{\sigma})^2 \sim \chi^2(n-1) σ21​i=1∑n​(Xi​−X)2=i=1∑n​(σXi​−μ​)2∼χ2(n−1)

定理7证明： 根据 F F F分布的定义 F = X / n 1 Y / n 2 F = \frac{X/n_1}{Y/n_2} F=Y/n2​X/n1​​其中 X ∼ χ 2 ( n 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n 2 ) X\sim \chi^2(n_1),Y\sim\chi^2(n_2) X∼χ2(n1​),Y∼χ2(n2​) 由定理3可知： 1 σ 1 2 ∑ i = 1 n 1 ( X i − μ 1 ) 2 ∼ χ 2 ( n 1 − 1 ) \frac{1}{\sigma_1^2}\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\mu_1)^2\sim\chi^2(n_1-1) σ12​1​i=1∑n1​​(Xi​−μ1​)2∼χ2(n1​−1) 1 σ 2 2 ∑ i = 1 n 2 ( X i − μ 2 ) 2 ∼ χ 2 ( n 2 − 1 ) \frac{1}{\sigma_2^2}\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\mu_2)^2\sim\chi^2(n_2-1) σ22​1​i=1∑n2​​(Xi​−μ2​)2∼χ2(n2​−1)即可得： F = ∑ i = 1 n 1 ( X i − X ‾ ) 2 / ( n 1 − 1 ) σ 1 2 ∑ i = 1 n 2 ( X i − X ‾ ) 2 / ( n 2 − 1 ) σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline X)^2/(n_1-1)\sigma^2_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\overline X)^2/(n_2-1)\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1) F=∑i=1n2​​(Xi​−X)2/(n2​−1)σ22​∑i=1n1​​(Xi​−X)2/(n1​−1)σ12​​∼F(n1​−1,n2​−1)