抛物线有很多几何性质，网上也有不少关于这些性质的推导的文章，不过几乎清一色地都是用的解析几何的方法。联立方程，导出根与系数的关系，算算算算算……

但是，与同样是二次曲线的椭圆和双曲线不同，圆和抛物线的几何性质非常「好」，不用坐标法，也能推出很多结论。不过相比具有完美对称性的圆来说，抛物线还是逊色了许多。圆的切线很容易用几何条件去描述（容易用反证法证出圆的切线垂直于过切点的直径），而抛物线的切线虽然也容易用几何条件描述，但相关结论却难以用纯几何法证出。所以涉及切线问题时，还是需要用坐标法证明一个重要结论的。虽然如此，本文的证明过程还是要比带着一大坨方程的纯代数法清爽得多。

要证结论，得先给出定义：

定义　由平面内到一个定点和一条定直线距离相等的所有点构成的图形，称为抛物线. 定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线, 焦点到准线的距离称为焦准距.

结论 1　抛物线是轴对称图形，准线过焦点的垂线是它的一条对称轴. 

证明

设焦点为 \(F\), 准线为 \(l\), 轴为 \(a\), 抛物线上有一点 \(P\). 过 \(P\) 作 \(PP'\perp l\), 垂足为 \(P'\). 当 \(P\) 不在 \(a\) 上时，作 \(P\) 关于 \(a\) 的对称点 \(Q\), 作 \(P'\) 关于 \(a\) 的对称点 \(Q'\). 连接 \(FP\)、\(FQ\). 由 \(a \perp l\) 知 \( PP'\parallel a \), 所以 \( QQ'\parallel a \), 所以 \(QQ' \perp l\). 由对称知 \(PP'=QQ'\), \(FP=FQ\), 又 \( FP=PP' \), 所以 \( FQ=QQ' \), 所以 \(Q\) 在抛物线上, 结论得证.

定义　抛物线的准线过焦点的垂线称为抛物线的轴, 轴与抛物线的交点称为抛物线的顶点.

结论 2　设抛物线的焦点为 \(F\), 顶点为 \(O\), 焦准距为 \(p\), 对于抛物线上任意一点 \(P\), \(FP = \frac{p}{1+\cos{\angle{OFP}}}\).

证明

设 \(FP=\rho\), \(\angle{OFP}=\theta\).

如图，当 \(\theta > 90^{\circ}\) 时，作 \(FP\) 在轴上的投影，易得 \(\rho = p-\rho\cos{\theta}\). 整理得 \(\rho = \frac{p}{1+\cos{\theta}}\), 即 \(FP = \frac{p}{1+\cos{\angle{OFP}}}\).

同理可证当 \(0^{\circ} < \theta