【初中可看】二次函数性质的拓展 焦点与准线 |
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在进入正题之前,我们先来看一下人教版九年级数学课本的一个数学活动 图中活动二结合勾股定理,我们不难得到曲线L的解析式为y=(1/4)x²+1 结合题目,我们发现,对于此抛物线,其上任意一点到点(0,2)的距离等于其到X轴的距离 这是巧合吗?是否对于所有抛物线,平面上都存在一点和一直线,使抛物线上任意一点到两者的距离相同? 我们先来观察一下二次项系数为1/4的抛物线。 根据上面的数学活动,我们已知此命题对于抛物线y=(1/4)x²+1成立 我们知道,真正决定抛物线形状的是二次项系数的绝对值,而一次项系数和常数项则决定抛物线的位置。 也就是说,二次项系数固定的抛物线其形状是固定的,不论一次项系数和常数项如何变化,都可以看作是原抛物线平移后的结果。 所以任意二次项系数为1/4的抛物线,都可以看作是抛物线y=(1/4)x²+1平移后的结果。 因此我们只需要跟着抛物线相应地平移点(0,2)和直线y=0(即x轴)即可保证新抛物线上任意一点到两者的距离相同。 事实上对于任意抛物线,都存在焦点与准线。 平面上存在一点和一条直线,抛物线上任一点到这个点和这条直线的距离相等。这个点叫作焦点,这条直线叫准线。(实际上这就是抛物线的定义) 在抛物线y=(1/4)x²+1中,焦点是点(0,2),准线是直线y=0。 如何证明这个命题呢? 证明这个命题直接证明不太好证明,但是我们可以从它的反面思考 满足到焦点与准线距离相同的点的轨迹是什么呢?如图,我们取经过焦点F且垂直于直线l的直线为y轴,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,建立直角坐标系xOy 设KF=p(p>0),那么焦点F的坐标为(0,p/2),准线l的方程为y=-p/2 设点M(x,y)到焦点F与准线l的距离相等 即MF=MH(图看着不像,但是我尽力了) 我们最终得到点的轨迹为y=x²/(2p),因为1/2p可以是任意正整数。所以点的轨迹可以为任意形状的抛物线(抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定)。 所以任何形如y=ax²(a>0)的抛物线都有焦点和准线。 与上文同理,抛物线y=ax²+bx+c都可以看作是抛物线y=ax²平移后的结果。所以任何抛物线都存在焦点和准线。 以上就是本篇文章的全部内容。 有问题的小伙伴可以评论或私信我 如有错漏敬请指正 |
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