(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(x+1)~e^x-1~ln(x+

根号

(1+x^2))~(a^x-1)/lna~[(1+x)^a-1]/a; (

共

10

个等阶无穷小量

)

(2)x^2~2-2cosx~2

根号

(1+x^2)-2

；

(

共

3

个等阶无穷小量

)

；

(3)x^3~6x-6sinx~3tanx-3x~6arcsinx-6x~2tanx-2sinx.(

共

5

等阶无

穷小量

).

不难发现，每一组等阶无穷小量都有一个关于

x

的等项式与之对应。

可以说，第一组是一阶无穷小量，第二组是二阶无穷小量，而第三组是三

阶无穷小量。这里的

"

阶

"

指的是关于

x

的单项式中，

x

的指数。

所谓等阶无穷小，指的是两个无穷小量的商的极限等于

1. 

比如最常

见的是第一个重要极限

lim(x->0)sinx/x=1. 

事实上，这个极限的倒数形

式

lim(x->0)x/sinx=1

也是成立的。三组等阶无穷小量，一共

18

个无穷

小量其实不止组成类似于第一个重要极限这样的等阶无穷小公式。其实第

一组等阶无穷小量可以组成

55

个类似的公式；第二组等阶无穷小量可以

组成

6

个类似的公式；第三组等阶无穷小量可以组成

15

个类似的公式。

这里无法一一累述，希望你可以自己动手试一试，以加强对它们的理解和

记忆。

等阶无穷小最主要的用途，当然就是应用在求极限时的等阶无穷小替

换了。下面举几个运用等阶无穷小替换求极限的例子：

利用等阶无穷小量替换求极限：

(1)lim(x->0)arctanx/sin(4x)

；

(2)lim(x->0)(tanx-sinx)/sinx^3

；