【常微分方程】积分因子法

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【常微分方程】积分因子法

2023-12-23 00:48| 来源: 网络整理| 查看: 265

一点碎碎念·关于我为啥没更新的小说明

朋友们大家好，我是咕咕练习时长一年的个人练习生——大兮兮，喜欢拖，跑，瞎求导！

ODE~

哔~

呃，很抱歉因为个人原因托更了这么长的时间，这其中部分时长用于了一份资料的编著（很抱歉还没写完），除此之外就是在不断积累知识与打数理基础。

由于学校原因，大二开学才能转专业，所以很多事情就拖的比较晚，这一年仍然看到许多仍（xiang）关（bai）心（piao）我的朋友继续鼓（cui）励（geng）我，在此谢谢大家！！！

之后我也不能说立即恢复到之前更新的水准，包括质量与频率。目前仍然很忙，我只能就当下而已尽我所能写出我所会的，以及想分享给大家的东西，所以如有不足希望大家多多包涵，多给我建议与批评，大家一起成长。

最近也同时在学一本很简单的UTM，《 $Naive\ Set\ Theory$ 》学完了寒假可以写一点总结小笔记（继续挖坑），本学期最感兴趣的是常微分方程这门课程，之后如果有一些思考也会继续写点小文章。

感谢你看完我的碎碎念，下面进入正文（大部分内容摘自丁同仁《常微分方程教程》第二版）。

恰当微分方程

下面只考虑一阶常微分方程

在常微分方程中，大家最先接触到的第一个例子应该是 $\frac{dy}{dx}=f(x)$ 这样形式的微分方程。

例如：将出发点设为原点的自由落体运动中，有 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=gt$ .

而更一般的情形则是 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)$ 的情况，再设 $f(x,y)=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$ ，其中 Q(x,y) 恒不等于零。

则有： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$ ，

下面将方程转化为： $P(x,y) \mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d} y=0$ ，该式与原式的积分曲线中相差一个 Q(x,y)=0 的情形（是指从此处往前面推导的话）。

那么下面只需考虑微分方程： $P \mathrm{d}x+Q \mathrm{d}{y}=0$ 的求解。

自然此处的函数 P(x,y) 与 Q(x,y) 需满足在单连通区域 $D \in \mathbb{R}^{2}$ 上连续可微。

如果存在一个可微函数 $\Phi(x, y)$ ，使得它的全微分是 $\mathrm{d} \Phi(x, y)=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ ，

也等价于它的偏导数满足： $\frac{\partial \Phi}{\partial x}=P(x, y), \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x, y)$ ，

就称微分方程 $P \mathrm{d}x+Q \mathrm{d}{y}=0$ 为恰当方程或全微分方程（因为是正好能凑成全微分的形式）。

那么 $\Phi(x, y)=C$ 就是上述微分方程的通积分曲线。

并且若这里的任意常数取定后，可以证明：由 $\Phi(x, y)=C$ 所确定的隐函数 y=u(x) （或 x=v(y) ）即为原方程的一个解，反之亦成立。

下面来看几个例子：

例1：求解微分方程 $x \mathrm{d}y+y\mathrm{d}x=0$ .

解：观察这个方程左侧，不难发现恰好是函数 $\Phi=xy$ 的全微分 $\mathrm{d}\Phi$ ，

因此上述方程可以写为： $\mathrm{d}(xy)=0$ ，因此它对应的解为 xy=C .

本文上面利用观察法求解微分方程只是一个简单的特例，在一般情况下，我们需要解决的问题是：

如何判断一个给定的微分方程是或不是恰当方程？当它是恰当方程时，如何求出相应全微分的原函数？当它不是恰当方程时，能否将它的求解问题转化为一个与之相关的恰当方程的求解问题？

下面对于这三个问题中的前两个问题可以立即给出答案，对于第三个问题还将在本文后续部分继续探讨。

先来看第一个问题：

由于恰当方程的定义，故有： $\mathrm{d} \Phi(x, y)=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ ，

其中： $\frac{\partial \Phi}{\partial x}=P(x, y), \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x, y)$ .

然后即可在上面的两个式子中分别对和求偏导数，即可得到： $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial y \partial x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x \partial y}$ .

由 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 与 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 的连续性假设可以推导出 $\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial y \partial x}$ 与 $\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x \partial y}$ 是连续的，因此 $\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial y \partial x}\equiv\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x \partial y}$ .

故而有： $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x}$ .

该也即式是判断一个给定的微分方程是或不是恰当方程的充分条件。

再来看第二个问题：

在函数 P(x,y) 与 Q(x,y) 满足了条件 $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x}$ 后，下一步是构造一个可微函数 $\Phi(x, y)$ ，

使得： $\frac{\partial \Phi}{\partial x}=P(x, y), \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x, y)$ 成立。

设函数 P(x,y) 与 Q(x,y) 是在区域 $M:axb,\quad cyd$ 上连续，其中 (x_0,y_0) 为上一点。

先满足上式的左侧成立，不妨取： $\Phi(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(x, y) \mathrm{d} x+\psi(y)$ ，其中 $\psi(y)$ 是一个待定的函数，

接下来为了使得 $\Phi(x, y)$ 满足上式的右侧成立，因此对该方程的两侧对求偏微分，

得到： $\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y} \int_{x_{0}}^{x} P(x, y) \mathrm{d} x+\psi^{\prime}(y)=\int_{x_{0}}^{x} \frac{\partial}{\partial y} P(x, y) \mathrm{d} x+\psi^{\prime}(y)$ .

带入条件 $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x}$ ，有： $\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\int_{x_{0}}^{x} \frac{\partial}{\partial x} Q(x, y) \mathrm{d} x+\psi^{\prime}(y)=Q(x, y)-Q\left(x_{0}, y\right)+\psi^{\prime}(y)$ .

因此对比两式，发现只需满足： $\psi^{\prime}(y)=Q\left(x_{0 },y\right)$ .

此时就只需： $\psi(y)=\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x_{0}, y\right) \mathrm{d} y$ 即可。

因此通过以上方式，我们就找到了满足恰当方程 $P \mathrm{d}x+Q \mathrm{d}{y}=0$ 的一个函数：

$\Phi(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(x, y) \mathrm{d} x+\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x_{0}, y\right) \mathrm{d} y$ .

实际上在构造 $\Phi(x, y)$ 时，倘若想先让 $\frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x, y)$ 成立，则这样构造出的： $\tilde{\Phi}(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P\left(x, y_{0}\right) \mathrm{d} x+\int_{y_{0}}^{y} Q(x, y) \mathrm{d} y$ 也同样是原方程的解。

并且这样的 $\Phi(x, y)$ 与 $\tilde{\Phi}(x, y)$ 的全微分相同，它们之间唯一的差别便是常数部分，但倘若带入相同的初值条件 (x_0,y_0) ，必会有： $\Phi(x, y)=\tilde{\Phi}(x, y)$ .

至此第二个问题也取得了完美的解决。

那么得到了恰当方程的判别方式与求解相应全微分的原函数的方法，自然我们就可以快速的求解一系列恰当微分方程的解了。

例2：求解微分方程 $\frac{y}{x^2+y^2} \mathrm{d}x-\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y=0$ .

解：设 $\frac{\partial M}{\partial x}=P=\frac{y}{x^2+y^2}$ ， $\frac{\partial M}{\partial y}=Q=\frac{\color{red}-x}{x^2+y^2}$ （一定要注意符号得带着）

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ ， $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ ，则 $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x}$ 满足，该方程为恰当微分方程。

故将 $\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{y}{x^2+y^2}$ 对积分，得： $M=\arctan(\frac{x}{y})+\varphi(y)$ .

将该式对求偏导，有： $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{-x}{x^2+y^2} +\varphi '(y)$ .

将上式与 $Q=\frac{-x}{x^2+y^2}$ 比较得： $\varphi'(y)=0$ ，故： $\varphi(y)=C$ .

则原方程对应的解为 $\arctan(\frac{y}{x})+C=0$ .

注：提到恰当微分方程时，我个人感觉与我前一段时间所学习到的 @虚调子虚姐姐的双元积分法,

https://zhuanlan.zhihu.com/p/94491466

在变形的时候所用到的以下的二元凑积分的式子有点关联：

$\begin{aligned} &\qquad \qquad \ y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y=\mathrm{d}(x y) ，\quad\frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{y^{2}}=\mathrm{d}\left(\frac{x}{y}\right) \\ &\qquad \ \ \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}}=\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right) ，\quad \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x y}=\mathrm{d}\left(\ln \left|\frac{x}{y}\right|\right) \\ &\frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}=\mathrm{d}\left(\arctan \frac{x}{y}\right) ，\quad\frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{2} \mathrm{~d}\left(\ln \left|\frac{x-y}{x+y}\right|\right) \end{aligned}$

个人认为凑积分法即更简洁形式的恰当微分方程求局部通解的形式，在最后分部求积分因子法时会更有这种感觉。

下面来解决上面提到的第三个问题。

积分因子

有时候，对于微分方程 $P(x,y) \mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d} y=0$ ，在带入前文所推得的判别条件时，

却会得到： $\frac{\partial P}{\partial y}\ne\frac{\partial Q}{\partial x}$ .

例如：方程 $y\mathrm{d}x+(y-x)\mathrm{d}y=0$ ，此时 $\frac{\partial P}{\partial y}=1$ ， $\frac{\partial Q}{\partial x}=-1$ ，该方程不为恰当微分方程。

这时我们希望能找到一个在原区间上连续可微的非零函数“补丁包” $\mu (x,y)$ ，使得： $\mu P \mathrm{d}x+\mu Q \mathrm{d}{y}=0$ 成为恰当微分方程。

此时则必有： $\frac{\partial (\mu P)}{\partial y}\equiv\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}$ ，这等价于： $P \frac{\partial \mu}{\partial y}-Q \frac{\partial \mu}{\partial x}=-\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right) \mu$ .

称这样的“补丁包”为微分方程 $P(x,y) \mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d} y=0$ 对应的积分因子，上式为 $\mu$ 构成积分因子的充要条件。

不过值得一提的是，一个方程的积分因子并不是唯一被确定的，是可以有多个的。

例如：微分方程 $y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y=0$ 的积分因子，除了 x^2 ，还有， x^2+y^2 ， x^2-y^2 等等。

积分因子的结构

这一部分内容引用下面老哥的文章，其证明部分大家可以看看他的原文：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/26661013

命题1 设方程 $\mu P \mathrm{d}x+\mu Q \mathrm{d}{y}=0$ 存在积分因子 $\mu$ ，使得存在 $\Omega$ ， $\mathrm{d}\Omega = μP\mathrm{d}x + μQ\mathrm{d}y$ ，则对任意一元连续可微的函数， $μg(\Omega)$ 也是该方程的积分因子。

命题2 设方程 $\mu P \mathrm{d}x+\mu Q \mathrm{d}{y}=0$ 存在积分因子 $\mu$ ，使得存在 $\Omega$ ， $\mathrm{d}\Omega = μP\mathrm{d}x + μQ\mathrm{d}y$ ，则对该方程的任意一积分因子 $\mu_1$ ，均存在不恒为零的一元连续可微的函数，使得 $\mu_1=μg(\Omega)$ .

命题3 设 $\mu$ 与 $\mu_1$ 是方程 $\mu P \mathrm{d}x+\mu Q \mathrm{d}{y}=0$ 的两个积分因子，则 $\frac{\mu_1}{\mu}=C$ 是该方程的通积分。

在丁同仁老师的《常微分方程教程》第52页就有涉及到该结构性的证明题。

积分因子的求法

就与后续遇到求解非齐次线性微分方程组时所会看到的公式 $y=\Phi(x)\left(c+\int_{x_{0}}^{x} \Phi^{-1}(s) f(s) d s\right)$ 一样，积分因子 $\mu$ 所满足的等式 $P \frac{\partial \mu}{\partial y}-Q \frac{\partial \mu}{\partial x}=-\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right) \mu$ 只是从理论上说其解存在，但对于它的求法却还得又归结于 $P(x,y) \mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d} y=0$ 的求解，因此从上式中求出积分因子的表达式 $\mu=\mu(x,y)$ ，再去求解该类型的微分方程，是一般是不可取的，但对于部分特殊情形下的情况，去找到一个较为简单的积分因子 $\mu$ 是可行的。

初等变换法求积分因子

很多书上应该都有这个例题：

证明齐次方程 $\mu P \mathrm{d}x+\mu Q \mathrm{d}{y}=0$ 有积分因子 $\mu=\frac{1}{xP+yQ}$ .

不妨假设该齐次方程中，连续可微函数 P,Q 均为 x,y 的阶齐次函数，即： P(t x, t y)=t^kP(x, y) ， Q(t x, t y)=t^kQ(x, y) .

现取 $y=ux,\quad t=\frac{1}{x}$ ，则有： $P(x, y)=x^{k} P(1, u)$ ， $Q(x, y)=x^{k} Q(1, u)$ .

同时，将 $\mathrm {d}y=\mathrm {d}(ux)=u\mathrm {d}x+x\mathrm {d}u$ 代入原微分方程，

得： $x^{k}[P(1, u) \mathrm d x+Q(1, u)(x\mathrm d u+u \mathrm dx)]=0$ ，

整理有： $x^{k}[(P(1, u)+Q(1, u) u) d x+x Q(1, u) d u]=0$ .

此时方程变为变量可分离的形式，其中积分因子则为： $\mu=\frac{1}{x^{k+1}[P(1, u)+Q(1, u) u]}=\frac{1}{x P+yQ}$ .

例3：求微分方程 $(x+2y)\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=0$ 的解。

解：可以直接留意到该微分方程是齐次微分方程，次数 k=1 .

故该方程有积分因子： $\mu=\frac{1}{x P+yQ}=\frac{1}{x(x+2y)+yx}=\frac{1}{x^2+3xy}$ .

将原微分方程两侧同时乘以该积分因子，得到新方程： $\frac{x+2y}{x^2+3xy}\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+3xy}\mathrm{d}y=0$ .

则不难求得（实际上分子分母还得再乘以，以及方程两边同时乘以）该微分方程的通积分为： x^3+3xy=C .

注：1. 该题还有积分因子，可将原方程化为一阶线性齐次方程；2. 利用积分因子法（乘在分母上的法）解出来的通积分还得考虑分母恰好等于零的情形，本题中只需让常数可以取到零即可。

直接求积分因子

类型一：当原微分方程 $P(x,y) \mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d} y=0$ 具有变量可分离形式： $X(x) Y_{1}(y) \mathrm{d} x+X_{1}(x) Y(y) \mathrm{d} y=0$ 时，可以取积分因子： $\mu(x, y)=\frac{1}{X_{1}(x) Y_{1}(y)}$ ，

此时就可以得到一个恰当微分方程： $\frac{X(x)}{X_{1}(x)} \mathrm{d} x+\frac{Y(y)}{Y_{1}(y)} \mathrm{d} y=0$ .

类型二：当原微分方程 $P(x,y) \mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d} y=0$ 是一阶线性微分方程（即具有形式）： $\mathrm{d} y+(p(x) y-q(x)) \mathrm{d} x=0$ 时，可以取积分因子： $\mu(x)=\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x}$ ，

此时就可以得到一个恰当微分方程： $\left(\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} y+y \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} p(x) \mathrm{d} x\right)-q(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x=0$ .

例5：求解微分方程 $(1+y^2)\mathrm{d}x+(xy+x^3y)\mathrm{d}y=0$ .

答案： (1+y^2)(1+x^2)=cx^2 ，其中为任意正常数。

例6：求解微分方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{2x-y^2}$ 的通解，并求 y(0)=2 时的特解。

答案：原方程通解为： $x=y^2(c-\ln|y|)$ ，其中为任意常数；

原方程在给定初值条件下的特解为： $x=y^2(\ln2-\ln|y|)$ .

复合函数形式的积分因子

上文提到过对于一般情形下想要求得积分因子是不太容易的，但是我们可以抛弃一小点的自由，对原来的积分因子加以束缚，求得特殊复合函数形式下的积分因子。

首先，对于某个已知的函数 $\varphi(x,y)$ ，令我们想要寻找的积分因子具有 $\mu=\mu(\varphi(x,y))$ 的形式，则 $\mu$ 的偏导数具有形式： $\frac{\partial \mu}{\partial x}=\frac{d \mu}{d \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x},\quad\frac{\partial \mu}{\partial y}=\frac{d \mu}{d \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial y}$ .

将其代入 $P \frac{\partial \mu}{\partial y}-Q \frac{\partial \mu}{\partial x}=-\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right) \mu$ ，整理即可得： $\frac{1}{\mu} \frac{d \mu}{d \ \varphi}=-\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{Q \frac{\partial \varphi}{\partial x}-P \frac{\partial \varphi}{\partial y}} \quad(\ast)$

等式的左端是关于 $\varphi$ 的函数，则只需让等式的右端同样也满足条件（可以表示为关于 $\varphi$ 的函数），则 $\mu$ 即为原微分方程 $P(x,y) \mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d} y=0$ 的一个积分因子。且可以表示为 $\mu=\mu(\varphi(x,y))$ 的形式。

那么假定已经选取了合理的 $\varphi(x,y)$ 使得等式右侧为函数 $\mathcal{L}(\varphi)$ ，

则原微分方程对应的一个积分因子为： $\mu=e^{\int \mathcal{L}(\varphi)\mathrm d\varphi}$ .

该式表达式也可以作为微分方程具有形式 $\mu=\mu(\varphi(x,y))$ 的积分因子的充要条件（读者自证不难.jpg）。

下面来举例一些常见的 $\varphi(x,y)$ 取具体形式时的积分因子 $\mu$ .

情形一：当 $\varphi=x$ ，有 $\frac{\partial \varphi}{\partial x}=1，\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0$ .

则 $(\ast)$ 式可化为： $\frac{1}{\mu} \frac{d \mu}{d \phi}=-\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{Q}$ ，

则若微分方程 $P\mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y=0$ 具有 $\mu=\mu(\varphi)=\mu(x)$ 的积分因子，则其对应的积分因子可表示为： $\mu (x)=e^{\int -\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{Q} \mathrm d x}$

情形二：当 $\varphi=y$ ，有 $\frac{\partial \varphi}{\partial x}=0，\frac{\partial \varphi}{\partial y}=1$ .

则 $(\ast)$ 式可化为： $\frac{1}{\mu} \frac{d \mu}{d \phi}=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{P}$ ，

则若微分方程 $P\mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y=0$ 具有 $\mu=\mu(\varphi)=\mu(y)$ 的积分因子，则其对应的积分因子可表示为： $\mu (x)=e^{\int \frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{P} \mathrm d y}$

丁教授的书上还给了更多的例题，大家不妨试试看：

例7：求解微分方程 $\left(3 x^{3}+y\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{2} y-x\right) \mathrm{d} y=0$ .

解：此时有： $\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=2(1-2 x y)$ ，因而该微分方程不是恰当方程。

并且容易发现，它既不是变量可分离类型的方程和齐次方程，也不是一阶线微分方程。

但我们来求出它的积分因子，发现有： $\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=-\frac{2}{x}$ ，等式右侧仅依赖于变量 .

因此可以得到此方程的一个积分因子： $\mu(x)=\mathrm{e}^{-\int \frac{2}{x} \mathrm{~d} x}=\frac{1}{x^{2}}$ .

将积分因子 $\mu=\mu(x)=\frac{1}{x^{2}}$ 分别乘以原微分方程两侧，

即可得到一个恰当微分方程： $3 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y+\frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}}=0$ .

此时可求得通积分为： $\frac{3}{2} x^{2}+y^{2}-\frac{y}{x}=C$ .

注：还应补上应用积分因子时丢失的特解 x=0 .

例8：求解微分方程 $(\cos x+\frac{1}{y}) \mathrm{d}x+(\frac{1}{y}-\frac{x}{y^2}) \mathrm{d}y=0$ .

答案： $\sin x+\ln |y|+\frac{x}{y}=c$ ，其中为任意常数。

分部求积分因子

好久没写高中文章了，也不知道大家还有记得我高中写过的导数文章么~

我高中有写过有关导函数放缩处理的一种方式——凹凸性反转。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/64424958

里面提到的一种放缩思想即为将函数分拆，然后分别求得各自的最小/大值，进而使得其全部相加得到原函数的一个下/上界，不过能否取等得看是否所有函数取得最值时的自变量是否相同。

在这里也特别介绍这种在常微分方程中特殊的分拆（分部）求积分因子的方法。

我们根据积分因子的结构中所提到的命题1，假设原微分方程 $P(x,y) \mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d} y=0$ 可以分为两组，即： $\left(P_{1} \mathrm{~d} x+Q_{1} \mathrm{~d} y\right)+\left(P_{2} \mathrm{~d} x+Q_{2} \mathrm{~d} y\right)=0$ .

其中第一组和第二组各自有积分因子 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ ，使得： $\mu_{1}\left(P_{1} \mathrm{~d} x+Q_{1} \mathrm{~d} y\right)=\mathrm{d} \Phi_{1}, \quad \mu_{2}\left(P_{2} \mathrm{~d} x+Q_{2} \mathrm{~d} y\right)=\mathrm{d} \Phi_{2}$ .

可以发现，对于任意的可微函数 g_1 和 g_2 ，函数 $\mu_{1} g_{1}\left(\Phi_{1}\right)$ 是第一组的积分因子，而函数 $\mu_{2} g_{2}\left(\Phi_{2}\right)$ 是第二组的积分因子。因此，若能适当的选取 g_1 与 g_2 ，使得： $\mu_{1} g_{1}\left(\Phi_{1}\right)=\mu_{2} g_{2}\left(\Phi_{2}\right)$ ，则 $\mu=\mu_{1} g_{1}\left(\Phi_{1}\right)$ 就是原微分方程的一个积分因子了。

例9：求解微分方程 $\left(x^{3} y-2 y^{2}\right) \mathrm{d} x+x^{4} \mathrm{~d} y=0$ .

解：将等式左侧分为两组： $\left(x^{3} y \mathrm{~d} x+x^{4} \mathrm{~d} y\right)-2 y^{2} \mathrm{~d} x=0$ .

前一组有积分因子 $\mu_{1}=x^{-3}$ 和通积分 $\Phi_{1}:xy=C$ ；后一组有积分因子 $\mu_{2}=y^{-2}$ 和通积分 $\Phi_{2}:x=C$ .

现在只需要寻找可微函数 g_1 和 g_2 ，使得： $\frac{1}{x^{3}} g_{1}(x y)=\frac{1}{y^{2}} g_{2}(x)$ .

这只要取： $g_{1}(x y)=\frac{1}{(x y)^{2}}, \quad g_{2}(x)=\frac{1}{x^{5}}$ 即可。

从而可以得到原方程的积分因子为： $\mu=\frac{1}{x^{5} y^{2}}$ .

然后用它乘以原方程，得到恰当方程： $\frac{1}{(x y)^{2}} \mathrm{~d}(x y)-\frac{2}{x^{5}} \mathrm{~d} x=0$ .

此时可求得通积分为： $y=\frac{2 x^{3}}{2 c x^{4}+1}$ ，其中为任意常数。

注：还应补上应用积分因子时丢失的特解 x=0 和 y=0 .

例10：求解微分方程 $y\mathrm{d}x-(x^2+y^2+x)\mathrm{d}x=0$ .

解：将等式左侧分为两组： $(y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}x)-(x^2+y^2)\mathrm{d}x=0$ .

第一部分可以选取的积分因子有很多，例如前文提到的： x^2 ，， x^2+y^2 ， x^2-y^2 .

第二部分基本上可以选取的积分因子就是 , $\frac{1}{x^2+y^2}$ .

此处中间步骤省略...

大家可以自行尝试一下，此外，本题还可以采取凑积分的方式，先除以 x^2 或者是 x^2+y^2 ，凑出一个变元 $\frac{y}{x}$ . 再利用初等还原法，令 $t=\frac{y}{x}$ ，可以轻松的求出通积分为： $\arctan(\frac{y}{x})+y=C$ ，特解为： y=0 .

以上便是这篇文章主要的内容啦~

qwq这篇文章我一共打了5.5h，希望大家能耐心看完，希望您有所收获！

如果觉得本文还不错的话，可以给我一个大大的点赞以及喜欢，或者是长按点赞推荐我的文章么，这将对我很有帮助~(❤ ω ❤)~

以后如果有时间还可以继续更新常微分方程的内容，最近对它的几何表示很感兴趣呢（继续挖坑）。

最后给大家推荐两本不错的常微分方程学习教材~

其中这本ODE是Grant（3Brown1Blue）本科的同款哦~

祝君好运~

【本文地址】

【常微分方程】积分因子法

【常微分方程】积分因子法

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