【高等数学】伯努利方程及其求解方法 |
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先将yn拿到左边,得到: y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x) 注意到: d y 1 − n d x = d y 1 − n d y ⋅ d y d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \Large \frac{dy^{1-n}}{dx} = \frac{dy^{1-n}}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} dxdy1−n=dydy1−n⋅dxdy=(1−n)y−ndxdy 因此,我们将y-n收进去,得到: 1 1 − n d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) 1−n1dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x) 令 z = y 1 − n z = y^{1-n} z=y1−n,得到: d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) dxdz+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x) 发现此时面对的就是一阶线性非齐次常微分方程,带入通解公式即可求得 z = z ( x ) = y 1 − n z=z(x)=y^{1-n} z=z(x)=y1−n 解得: y = z ( x ) 1 − n y= \sqrt[1-n]{z(x)} y=1−nz(x) |
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