四、随机变量及其分布函数的基本定义和性质 random variables and distribution |
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1、随机变量是一个从样本空间Ω映射到实数集合R的函数。 2、随机变量的分布函数： F X ( x ) = P ( X ≤ x ) F_X(x)=P(X \leq x) FX(x)=P(X≤x)，称为X服从 F X ( x ) F_X(x) FX(x)，记为 X ∼ F X ( x ) X \sim F_X(x) X∼FX(x)。 离散型随机变量：分布列连续型随机变量： X ∼ F ( x ) X \sim F(x) X∼F(x)，存在非负可积函数 f ( x ) f(x) f(x)，使得 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)= \int_{-\infty}^{x}f(t)dt F(x)=∫−∞xf(t)dt，则称X为连续性随机变量， f ( x ) f(x) f(x)为X的概率密度函数（PDF）。概率密度函数一定满足： ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1 连续型随机变量的分布函数一定是R上的连续函数，但分布函数在R上是连续函数的随机变量不一定是连续型随机变量。 连续型随机变量的单点概率为0，f(x)不是其单点概率。 3、分布函数的性质： 单调性：F(x)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上单调非减。有界性： ∀ x ∈ R , 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 \forall x\in R, 0 \leq F(x) \leq 1 ∀x∈R,0≤F(x)≤1右连续性： ∀ x 0 ∈ R , lim x → x 0 F ( x ) = F ( x 0 ) \displaystyle \forall x_0 \in R , \lim_{x \to x_0} F(x) = F(x_0) ∀x0∈R,x→x0limF(x)=F(x0)利用分布函数计算随机变量在不同区间上的概率： P ( a < x ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) P ( x = a ) = P ( x ≤ a ) − P ( x < a ) = F ( a ) − lim x → a − F ( x ) = F ( a ) − F ( a − ) P ( a ≤ x ≤ b ) = F ( b ) − F ( a − ) \begin{aligned} P(a |
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