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Gram-Schmidt正交化过程
到目前为止,我们都是在反复强调“对于无解的方程组Ax=b而言,如果矩阵A是标准正交矩阵的话,就怎么怎么好了。。。。”。因为,不论是求投影还是计算最小二乘的正规方程,他们都包含了 Gram-Schmidt process: 现有一个方程组Ax=b,矩阵A由三个线性无关的列向量a,b,c组成。首先,我们基于a,b,c去构造三个相互正交的向量A,B,C。构造好以后,我们分别让A,B,C除以他们各自的长度,最终得到我们想要的一组标准正交基 第一步:令向量A等于向量a,得到第一个向量A,确定了第一个方向。 第二步:因为我要构造的一组正交基是相互正交的,因此,我们的第二个向量B必须垂直于向量A。我们令b减去b在A上的投影向量 第三步:用向量c减去c在A和B所张成的子空间(平面)上的投影 第四步:分别对彼此正交的A,B,C进行归一化,得到向量长度都为1的一组标准正交基 如果还有d的话,则需要从d减去d在已经构造好的向量A,B,C三个方向上的投影(或者说是减去d在A,B,C所张成的空间上的投影),得到垂直于向量A,B,C的另一个分量D。 Gram Schmidt正交化过程的核心思想就是:不断的用新的已知向量,减去该向量在已经构造好的向量上的投影分量,得到我们要找的垂直分量。 即:old_vector - projection = new_vector Example: 最后,我们给出一个Gram Schmidt正交化计算过程的例子,一开始有三个彼此不正交的线性无关向量a,b,c,其中a=[1, -1, 0], b=[2, 0, -2], c=[3, -3, 3],如下图所示: 用Gram schmidt正交化的idea去构建一组包含三个列向量的正交基q1,q2,q3: q1,q2,q3是一组标准正交基,他们彼此正交且他们的长度都是1,如下图所示: 这是包含中间结果A,B,C的图示,可见q1,q2,q3与A,B,C的方向相同,唯一不同的是A,B,C还没有归一下: Matlab code: %% Example of CSDN %Original points X=[0,0,0]; Y=[0,0,0]; Z=[0,0,0]; U=[1,2,3]; V=[-1,0,-3]; W=[0, -2, 3]; quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1) axis equal legend('a,b,c','Location','northwest') hold on %Orthogonal vectors U=[1,1,1]; V=[-1,1,1]; W=[0,-2,1]; quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1) axis equal legend('a,b,c','A,B,C','Location','northwest') %Orthonormal bases U=[1/sqrt(2),1/sqrt(6),1/sqrt(3)]; V=[-1/sqrt(2),1/sqrt(6),1/sqrt(3)]; W=[0,-2/sqrt(6), 1/sqrt(3)]; quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',3) axis equal legend('a,b,c','A,B,C','q1,q2,q3','Location','northwest')(全文完) 作者 --- 松下J27 参考文献(鸣谢): 1,Introduction to Linear Algebra,Fifth Edition - Gilbert Strang 2,线性代数及其应用,候自新,南开大学出版社 1990 (配图与本文无关) 版权声明:文中的部分图片,文字或者其他素材,可能来自很多不同的网站和说明,在此没法一一列出,如有侵权,请告知,立即删除。欢迎大家转载,但是,如果有人引用或者COPY我的文章,必须在你的文章中注明你所使用的图片或者文字来自于我的文章,否则,侵权必究。 ----松下J27 |
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