（如果想直接看小波变换，可以跳过这一节，从小波变换的基本原理开始看）

首先考虑如下形式的离散余弦变换（DCT），该变换为： t ( u ) = ∑ x = 0 N − 1 f ( x ) s ( x , u ) t(u) = \sum_{x=0}^{N-1}f(x)s(x,u) t(u)=x=0∑N−1​f(x)s(x,u) 其中 s ( x , u ) s(x,u) s(x,u)是变换核，形式为 s ( x , u ) = α ( u ) c o s ( u π N ( x + 1 2 ) ) s(x,u)=\alpha(u)cos(\frac{u\pi}{N}(x+\frac{1}{2})) s(x,u)=α(u)cos(Nuπ​(x+21​)) 其中 α ( u ) = { 1 N  if  u = 0 2 N  if  u = 1 , 2 , . . . , N − 1 \alpha(u) = \begin{cases}\sqrt{\frac{1}{N}} & \text{ if } u=0 \\ \sqrt{\frac{2}{N}} & \text{ if } u = 1,2,...,N-1 \end{cases} α(u)=⎩⎨⎧​N1​ ​N2​ ​​ if u=0 if u=1,2,...,N−1​ 离散余弦变换有很多种写法，这些写法上存在细微的差异，这里采用这种离散余弦变换写成这样的好处是变换的基向量是正交的。 什么意思呢？我们等会会解答，先看另一个问题。 把一个周期的一维离散频率域信号写成列向量的形式 f ∈ R N × 1 f \in \mathbb{R}^{N \times 1} f∈RN×1，对应的频率域序列为 t ∈ R N × 1 t \in \mathbb{R}^{N \times 1} t∈RN×1，上式可以写成 t = [ s 0 T f s 1 T f . . . s N − 1 T f ] = [ s 0 T s 1 T . . . s N − 1 T ] f t=\begin{bmatrix}s_0^Tf \\ s_1^Tf \\ ... \\ s_{N-1}^Tf \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}s_0^T \\ s_1^T \\ ... \\ s_{N-1}^T \end{bmatrix}f t=⎣⎢⎢⎡​s0T​fs1T​f...sN−1T​f​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​s0T​s1T​...sN−1T​​⎦⎥⎥⎤​f 其中 s i = [ s ( 0 , i )    s ( 1 , i )    . . .    s ( N − 1 , i ) ] T s_i=[s(0,i) \;s(1, i)\;...\;s(N-1, i)]^T si​=[s(0,i)s(1,i)...s(N−1,i)]T. 进一步令 A = [ s 0    s 1    . . .    s N − 1 ] T A=[s_0\;s_1 \;...\;s_{N-1}]^T A=[s0​s1​...sN−1​]T，易得 t = A f t=Af t=Af 会发现原信号与变换后的信号中间只是一个基于矩阵的变换，这种变换非常多，（其实最常用的傅里叶变换也可以看作是一种基于矩阵的变换），这种变换对应的逆变换也有可能是基于矩阵的变换（例如傅里叶变换）

好了，回到离散余弦变换，刚才说的变换基向量正交即各个 s s s之间是正交的 A A T = [ s 0 T s 0    s 0 T s 1    ⋯    s 0 T s N − 1 s 1 T s 0    s 1 T s 1    ⋯    s 1 T s N − 1 ⋮    ⋮    ⋱    ⋮ s N − 1 T s 0    s N − 1 T s 1    ⋯    s N − 1 T s N − 1 ] = I AA^T= \begin{bmatrix}s_0^Ts_0 &\; s_0^Ts_1 \; & \cdots \; &s_0^Ts_{N-1} \\ s_1^Ts_0 &\; s_1^Ts_1 \; &\cdots \; &s_1^Ts_{N-1} \\ \vdots& \; \vdots \; & \ddots\; &\vdots \\ s_{N-1}^Ts_0 &\; s_{N-1}^Ts_1 \; &\cdots \; &s_{N-1}^Ts_{N-1} \end{bmatrix}=I AAT=⎣⎢⎢⎢⎡​s0T​s0​s1T​s0​⋮sN−1T​s0​​s0T​s1​s1T​s1​⋮sN−1T​s1​​⋯⋯⋱⋯​s0T​sN−1​s1T​sN−1​⋮sN−1T​sN−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​=I 也即 A A A是一个正交矩阵，所以逆变换就直接为 f = A T t f = A^Tt f=ATt 这也基于矩阵变换中非常特殊的一类：正交变换。 正交变换的优势包括：

各种变换核展示

如果信号是二维的，例如 t ( u , v ) = ∑ x = 0 N − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) s ( x , y , u , v ) t(u,v)=\sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) s(x,y,u,v) t(u,v)=x=0∑N−1​y=0∑N−1​f(x,y)s(x,y,u,v) 如果变换核是可分离的： s ( x , y , u , v ) = s 1 ( x , u ) s 2 ( y , v ) s(x,y,u,v)=s_1(x,u)s_2(y,v) s(x,y,u,v)=s1​(x,u)s2​(y,v)，而且是对称的，即 s 1 ≡ s 2 s_1 \equiv s_2 s1​≡s2​，且分离后的一维变换核是实正交的，那么二维变换可以写成 t = A f A T f = A T t A t=AfA^T \\ f=A^T tA t=AfATf=ATtA 其中 f , t ∈ R N × N f,t \in \mathbb{R}^{N \times N} f,t∈RN×N是二维信号的矩阵形式。上式中对 f f f的左乘 A A A和右乘 A T A^T AT分别对应列变换和行变换（类似二维离散傅里叶变换的行列可分离性）

尺度函数的作用是大致地表示原始信号，尺度函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)由实数、平方可积的函数组成，将尺度函数进行幂为2的伸缩和整数倍的平移得到函数集合 { φ j , k ( x ) ∣ j , k ∈ Z } \{\varphi_{j,k}(x)|j,k \in \mathbb{Z}\} {φj,k​(x)∣j,k∈Z}，其中： φ j , k ( x ) = 2 j / 2 φ ( 2 j x − k ) (1) \varphi_{j,k}(x)=2^{j/2}\varphi(2^j x - k) \tag{1} φj,k​(x)=2j/2φ(2jx−k)(1) k k k决定了 φ j , k \varphi_{j,k} φj,k​的位置， j j j决定了宽度和高度。 如果限制 j = j 0 j=j_0 j=j0​，那么 { φ j 0 , k ∣ k ∈ Z } \{\varphi_{j_0, k}| k\in \mathbb{Z}\} {φj0​,k​∣k∈Z}则张成了一个可以表示的空间的基，我么记 V j 0 = { φ j 0 , k ∣ k ∈ Z } (2) V_{j_0}=\{\varphi_{j_0, k}| k\in \mathbb{Z}\} \tag{2} Vj0​​={φj0​,k​∣k∈Z}(2)增大 j 0 j_0 j0​会增强 V j 0 V_{j_0} Vj0​​的表达能力，因为 φ j 0 , k \varphi_{j_0,k} φj0​,k​更窄，可以表示出更精细的部分。 注意 φ 0 , 0 = φ \varphi_{0, 0} = \varphi φ0,0​=φ.

一种常见的尺度函数是哈尔尺度函数： φ ( x ) = { 1  if  0 ≤ x < 1 0  otherwise  (3) \varphi(x) = \begin{cases} 1 &\text{ if } 0 \le x hφ​(k)∣k=0,1,2,...}通常叫做尺度函数系数（scaling function coefficients）。对于正交的尺度函数，提供一种 h φ h_{\varphi} hφ​的求法： h φ ( k ) = ⟨ φ ( x ) , 2 φ ( 2 x − k ) ⟩ = ∫ φ ( x ) 2 φ ( 2 x − k ) d x (6) h_{\varphi}(k) = \left \langle \varphi(x), \sqrt 2 \varphi(2x-k) \right \rangle = \int \varphi(x) \sqrt 2 \varphi(2x-k) dx \tag{6} hφ​(k)=⟨φ(x),2 ​φ(2x−k)⟩=∫φ(x)2 ​φ(2x−k)dx(6) 这是由于不同 k k k的 2 φ ( 2 x − k ) \sqrt 2 \varphi(2x-k) 2 ​φ(2x−k)之间是互相正交的，所以由式(5)可以推出式(6).

小波函数修正了尺度函数表示和原始信号之间的差异。在给定尺度函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)后，一定存在一个小波函数 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x)，类似尺度函数的幂为2的伸缩和整数倍的平移，得到函数 ψ j , k ( x ) = 2 j / 2 ψ ( 2 j x − k ) (7) \psi_{j,k}(x) = 2^{j/2}\psi(2^j x-k) \tag{7} ψj,k​(x)=2j/2ψ(2jx−k)(7) 其中 j , k ∈ Z j,k \in \mathbb{Z} j,k∈Z。小波函数有啥用呢？如果我们令 W j 0 W_{j_0} Wj0​​表示小波函数集合 { ψ j 0 , k ∣ k ∈ Z } \{\psi_{j_0,k}|k \in \mathbb{Z}\} {ψj0​,k​∣k∈Z}所张成的空间，那么 V j 0 + 1 = V j 0 ⊕ W j 0 (8) V_{j_0+1}=V_{j_0} \oplus W_{j_0} \tag{8} Vj0​+1​=Vj0​​⊕Wj0​​(8) 其中 ⊕ \oplus ⊕表示所张成空间的直和。形象地说，从 V j 0 + 1 V_{j_0+1} Vj0​+1​到 V j 0 V_{j_0} Vj0​​之间模糊部分，可以用 W j 0 W_{j_0} Wj0​​填补。 而且 W j 0 W_{j_0} Wj0​​和 V j 0 V_{j_0} Vj0​​中的基函数是正交的，即 ⟨ φ j 0 , k ( x ) ， ψ j 0 , l ( x ) ⟩ = 0  for   k ≠ l (9) \left \langle \varphi_{j_0,k}(x) ，\psi_{j_0,l}(x) \right \rangle = 0 \qquad \text{ for } \ k \neq l \tag{9} ⟨φj0​,k​(x)，ψj0​,l​(x)⟩=0 for  k​=l(9) 尺度空间和小波空间之间的关系如下图所示 实际上，两者之间的联系可以写成是 ψ ( x ) = ∑ k h ψ ( k ) 2 φ ( 2 x − k ) (10) \psi(x) = \sum _k h_\psi (k)\sqrt 2 \varphi(2x-k) \tag{10} ψ(x)=k∑​hψ​(k)2 ​φ(2x−k)(10) 其中 h ψ ( k ) h_\psi (k) hψ​(k)叫做小波函数系数（wavelet function coefficients），可以写成是有序集合 { h ψ ( k ) ∣ k = 0 , 1 , 2 , . . . } \{h_\psi (k)|k=0,1,2,...\} {hψ​(k)∣k=0,1,2,...}. 而且，由于小波函数对整数平移之间是正交的，同时由式(9)和(10)，可以证明 h ψ ( k ) = ( − 1 ) k h φ ( 1 − k ) (11) h_\psi (k)=(-1)^k h_{\varphi}(1-k) \tag{11} hψ​(k)=(−1)khφ​(1−k)(11)

哈尔尺度函数对应的小波函数为 ψ ( x ) = { 1 0 ≤ x < 0.5 − 1 0.5 ≤ x < 1 0  elsewhere  (12) \psi(x) = \begin{cases} 1 & 0 \le x< 0.5 \\ -1 & 0.5 \le x < 1 \\ 0 & \text{ elsewhere } \end{cases} \tag{12} ψ(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​1−10​0≤x